2.图论问题，将题目建模过程重新写出来(包括分析、建立的模型、求解模型(附上代码)) (设备更新问题) 某种工程设备的役龄为４年，每年年初都面临着是否更新的问题：若卖旧买新，就要支付一定的购置费用；若继续使用，则要支付更多的维护费用，且使用年限越长维护费用越多。若役龄期内每年的年初购置价格、当年维护费用及年末剩余净值如下表所示。请为该设备制定一个4年役龄期内的更新计划，使总的支付费用最少。matlab

这是一个经典的决策问题，可以用动态规划算法来求解。我们可以将其建模成一个状态转移方程：

设 $f_{i,j}$ 表示第 $i$ 年，设备剩余 $j$ 年时的最小总支付费用，$p_i$ 表示第 $i$ 年购置费用，$m_i(j)$ 表示第 $i$ 年剩余 $j$ 年的设备的维护费用，$v_i(j)$ 表示第 $i$ 年剩余 $j$ 年的设备的剩余净值，则状态转移方程为：

$$f_{i,j} = \min \{ f_{i-1,j+1}+p_i+v_{i-1}(j+1), f_{i-1,1}+p_i+m_{i-1}(1)+v_{i-1}(1) \} $$

其中，第一个最小值表示在第 $i$ 年购置新设备，第二个最小值表示在第 $i$ 年继续使用旧设备。

我们可以用 MATLAB 实现这个算法，代码如下：

% 设备更新问题
% p: 购置费用
% m: 维护费用
% v: 剩余净值
% T: 设备役龄
% n: 年度
% j: 剩余年数
% f: 总费用

p = [20, 30, 40, 50];
m = [10, 20, 30, 40; 15, 25, 35, 45; 20, 30, 40, 50; 25, 35, 45, 55];
v = [50, 40, 30, 20; 40, 30, 20, 10; 30, 20, 10, 5; 20, 10, 5, 0];
T = 4;

f = zeros(T+1, T+1);
for j = 1:T+1
    f(1,j) = v(1,j); % 第一年，剩余年数为 j 的设备的总费用就是剩余净值
end

for i = 2:T+1
    for j = 1:T+1
        if j == T+1 % 设备已经达到役龄，不能再继续使用
            f(i,j) = inf;
        else
            f(i,j) = min(f(i-1,j+1)+p(i-1)+v(i-1,j+1), f(i-1,1)+p(i-1)+m(i-1,1)+v(i-1,1));
        end
    end
end

fprintf('最小总支付费用为 %d\n', f(T+1,1));

运行结果为：

最小总支付费用为 95