python求解存在多组解的方程组

在Python中，当面对存在多组解的方程组时，通常意味着该方程组是不定的，即方程数量少于或等于未知数的数量，并且方程之间不是完全独立的。这种情况下，使用线性代数中的矩阵操作可以找到方程组的所有可能解。

一种常用的工具是NumPy库中的`numpy.linalg.solve`函数，它可以求解线性方程组。但当方程组有无穷多解时，该函数将抛出一个错误。为了求解不定方程组，可以使用`numpy.linalg.lstsq`函数，它可以找到最小二乘解，这种方法可以返回所有可能的解。

`numpy.linalg.lstsq`函数返回的解包括：
1. 最佳拟合解（x），它是最接近实际解的解。
2. 残差（residuals），即方程左侧与右侧的差。
3. 秩（rank），表示矩阵的秩。
4. 奇异值（s），它是一个数组，包含奇异值分解的奇异值。

使用`numpy.linalg.lstsq`时，如果方程组有无穷多解，可以利用其返回的秩和奇异值来分析解空间。秩表示线性独立方程的数量，而解空间的维度则是未知数的总数减去秩。

示例代码如下：

import numpy as np

# 设定系数矩阵A和常数项向量b
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
b = np.array([7, 8])

# 使用lstsq求解
solution = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)

# 输出解
x = solution[0]
print("解向量x：", x)

在上述代码中，如果方程组有无穷多解，`x`将是其中一个解，而且解空间存在一个基础解系，可以通过求解秩亏矩阵的零空间来得到。