lucas公式求组合数

Lucas 公式可以用来计算组合数 $\binom{n}{m}$ 的值，其中 $n$ 和 $m$ 都是非负整数，且 $m \leq n$。Lucas 公式的表达式如下：

$$\binom{n}{m} \equiv \prod_{i=0}^k \binom{n_i}{m_i} \mod p$$

其中 $\equiv$ 表示模同余，$p$ 是一个质数，满足 $p > n$，且 $p$ 与 $n$ 的二进制表示中所有位都不相同。$n$ 和 $m$ 的二进制表示中，第 $i$ 位的值为 $n_i$ 和 $m_i$。$k$ 是 $n$ 和 $m$ 二进制表示中最高位的下标。

例如，当 $n=6$，$m=3$，$p=7$ 时，我们可以使用 Lucas 公式来计算 $\binom{6}{3}$：

首先，我们将 $n$ 和 $m$ 转换为二进制表示：

$$n = 110_2, \quad m = 011_2$$

接着，我们找到 $n$ 和 $m$ 二进制表示中最高位的下标 $k$，即 $k=2$。

然后，我们可以按照 Lucas 公式的表达式，计算每个二项式系数 $\binom{n_i}{m_i}$ 的值：

$$\binom{6}{3} \equiv \binom{1}{0} \binom{1}{1} \binom{0}{1} \mod 7$$

最后，我们将每个二项式系数的值相乘，然后对 $p$ 取模，得到最终的结果：

$$\binom{6}{3} \equiv 0 \mod 7$$

因此，$\binom{6}{3}=20$ 是 $7$ 的倍数。

相关问题

lucas定理算组合数

Lucas定理是用于计算组合数的定理，它的表述如下：

对于给定的质数p和非负整数n和k，有：

C(n,k) ≡ ∏(i=0 to s) C(n_i, k_i) (mod p)

其中，n和k在p进制下的各位数分别为n_0,n_1,...,n_s和k_0,k_1,...,k_s，且n_i≥k_i。C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，mod表示模运算。

Lucas定理的证明基于组合数的乘法公式和费马小定理。它可以用来计算组合数的值，尤其是当n和k非常大时，可以将它们转化为p进制下的数进行计算。

组合数求余lucas阶层预处理

Lucas定理是组合数取模的一个重要定理，可以用来快速求解组合数取模的问题。Lucas定理的表述如下：

对于非负整数n和m，以及素数p，如果n和m的p进制表示中的每一位都小于等于对应位置的p进制表示中的每一位，那么有以下等式成立：

C(n, m) ≡ ∏(C(n_i, m_i)) (mod p)

其中，n_i和m_i分别是n和m在p进制表示中的第i个位数。

而Lucas阶乘则是指将阶乘进行预处理后再计算，以减少重复计算。Lucas阶乘预处理的过程如下：

1. 初始化一个数组F，其中F[i]表示i! (mod p)。
2. 计算F = 1，F[i] = F[i-1] * i (mod p)，对于1 ≤ i ≤ p-1。
3. 计算C(n, m) mod p 的过程中，使用Lucas定理并结合预处理后的阶乘数组F进行计算。

下面是使用Python实现Lucas阶乘预处理的示例代码：

def lucas_factorial(n, p):
    # 初始化阶乘数组
    F = [0] * (p+1)
    F[0] = 1

    # 计算阶乘数组
    for i in range(1, p+1):
        F[i] = F[i-1] * i % p

    return F

# 示例：计算C(n, m) mod p
def lucas_combination(n, m, p):
    F = lucas_factorial(n, p)
    res = 1

    while n > 0 or m > 0:
        n_i = n % p
        m_i = m % p
        n //= p
        m //= p

        res = res * F[n_i] * pow(F[m_i] * F[n_i - m_i] % p, p-2, p) % p

    return res

使用以上代码，可以通过调用`lucas_combination(n, m, p)`来求解C(n, m) mod p。其中，n和m是需要求解的组合数的参数，p是模数。

希望以上内容能够帮助到你！如果还有其他问题，请继续提问。