lucas定理c++

Lucas定理是组合数学中的一种定理，用于计算组合数取模的结果。根据引用和引用的代码，可以看出Lucas定理的计算公式为C(n,m)%p = Lucas(n,m)%p = C(n%p, m%p) * lucas(n/p, m/p) % p。其中，C(n,m)表示组合数，lucas(n,m)表示Lucas数，p为取模的数。Lucas定理利用了组合数的性质和取模的特性，通过递归的方式计算组合数取模的结果。在代码中，通过预先计算阶乘和逆元的方式实现了Lucas定理的计算。

相关问题

生成卢卡斯定理的 c++代码

以下是一个生成卢卡斯定理的C++代码示例：

#include <iostream>

// 计算 a^b mod m 的结果
long long int power(long long int a, long long int b, long long int m) {
    long long int result = 1;
    a = a % m;
    
    while (b > 0) {
        if (b % 2 == 1)
            result = (result * a) % m;
        
        a = (a * a) % m;
        b /= 2;
    }
    
    return result;
}

// 计算组合数 C(n, k) mod p 的结果
long long int lucas_theorem(long long int n, long long int k, long long int p) {
    if (k == 0)
        return 1;
    
    long long int ni = n % p;
    long long int ki = k % p;
    
    if (ni < ki)
        return 0;
    
    long long int numerator = 1;
    long long int denominator = 1;
    
    for (int i = 0; i < ki; i++) {
        numerator = (numerator * (ni - i)) % p;
        denominator = (denominator * (i + 1)) % p;
    }
    
    // 使用扩展欧几里得算法求逆元素
    long long int inverse_denominator = power(denominator, p - 2, p);
    
    return (numerator * inverse_denominator) % p;
}

int main() {
    long long int n = 10;
    long long int k = 3;
    long long int p = 13;
    
    long long int result = lucas_theorem(n, k, p);
    std::cout << "Lucas定理结果: " << result << std::endl;
    
    return 0;
}

这段代码中的`lucas_theorem`函数用于计算卢卡斯定理。在该函数中，我们首先对输入的`n`和`k`进行取模操作，然后使用循环计算分子和分母的乘积，并使用扩展欧几里得算法求解乘法逆元，最后返回结果。

在这个例子中，我们计算了C(10, 3) mod 13的结果。你可以根据需要修改输入的`n`、`k`和`p`值来进行不同的计算。

求模数非质数的组合数c++

可以使用 Lucas 定理求解组合数，其中需要使用到模数的逆元。以下是一个求解组合数模数为非质数的实现示例：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const int mod = 998244353;

// 求 a 的 b 次幂对 p 取模的结果
int pow_mod(int a, int b, int p) {
    int res = 1 % p;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (long long) res * a % p;
        a = (long long) a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

// 求模数的逆元
int inv(int a, int p) {
    return pow_mod(a, p - 2, p);
}

// 预处理阶乘和阶乘的逆元
void init(vector<int>& fac, vector<int>& inv_fac, int n) {
    fac[0] = inv_fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fac[i] = (long long) fac[i - 1] * i % mod;
        inv_fac[i] = inv(fac[i], mod);
    }
}

// 计算组合数
int C(int n, int m, vector<int>& fac, vector<int>& inv_fac) {
    if (m > n) return 0;
    return (long long) fac[n] * inv_fac[m] % mod * inv_fac[n - m] % mod;
}

// 计算 Lucas 数
int Lucas(int n, int m, vector<int>& fac, vector<int>& inv_fac) {
    if (m == 0) return 1;
    return (long long) C(n % mod, m % mod, fac, inv_fac) * Lucas(n / mod, m / mod, fac, inv_fac) % mod;
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<int> fac(n + 1), inv_fac(n + 1);
    init(fac, inv_fac, n);

    cout << Lucas(n, m, fac, inv_fac) << endl;

    return 0;
}

需要注意的是，这里使用了 998244353 作为模数，如果需要使用其他模数，需要修改 `mod` 的值。