证明相似的实正规矩阵必定正交相似

设 $A, B$ 是 $n$ 阶实正规矩阵，且相似，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1}AP$。我们需要证明 $P$ 是正交矩阵，即 $P^{-1}=P^T$。

由于 $A$ 是实正规矩阵，所以存在正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $D$，使得 $A=QDQ^{-1}$。因为 $A$ 和 $B$ 相似，所以 $B$ 也可以表示为 $B=QD'Q^{-1}$ 的形式，其中 $D'$ 是 $B$ 的特征值矩阵。

由相似的定义可得：$B=P^{-1}AP$，代入 $A$ 和 $B$ 的表达式可得：$QD'Q^{-1}=P^{-1}QDQ^{-1}P$。两边同时乘以 $Q$，得到 $D'Q^{-1}=P^{-1}DPP^{-1}Q^{-1}$，即 $D'=P^{-1}DP$。

因为 $A$ 和 $B$ 都是实正规矩阵，所以它们的特征值都是实数。由于 $D$ 和 $D'$ 都是对角矩阵，它们的特征值都在对角线上。因此，$D=D'$，即 $P^{-1}AP=P^{-1}DP$。两边同时左乘 $P$，得到 $AP=DP$。这表明 $P$ 是 $A$ 的特征向量矩阵。由于 $A$ 是实正规矩阵，所以它的特征向量可以正交归一化。因此，$P$ 是正交矩阵，即 $P^{-1}=P^T$。

综上所述，我们证明了相似的实正规矩阵必定正交相似。

相关问题

证明相似的实正规矩阵必定正规相似

设 $A$ 和 $B$ 是相似的实正规矩阵，即存在一个非奇异矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。我们需要证明 $A$ 和 $B$ 正规相似。

首先，由于 $A$ 是实正规矩阵，所以它是实对称矩阵或者实正交矩阵。如果 $A$ 是实对称矩阵，那么它可以被对角化，即存在一个正交矩阵 $Q$ 和一个对角矩阵 $D$ 使得 $A = Q^{-1}DQ$。因为 $P$ 是非奇异矩阵，所以 $P^{-1} = P^T$，所以

$$
B = P^{-1}AP = P^TAP = P^TQ^{-1}DQP.
$$

令 $R = QP$，那么 $R$ 是一个非奇异矩阵，因为 $P$ 和 $Q$ 都是非奇异矩阵。于是我们有

$$
B = R^{-1}DR,
$$

这说明 $B$ 也可以被对角化。因此，如果 $A$ 是实对称矩阵，那么 $A$ 和 $B$ 正规相似。

接下来考虑 $A$ 是实正交矩阵的情况。因为 $A$ 是实正交矩阵，所以 $A^T A = AA^T = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。同时，因为 $A$ 是实正规矩阵，所以 $A$ 的特征值都是实数。设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$x$ 是对应的特征向量，即 $Ax = \lambda x$。那么有

$$
\lambda^2 x^T x = \lambda x^T Ax = x^T A^T Ax = x^T AA^T x = x^T x,
$$

因为 $A^T A = I$。这说明 $\lambda^2 = 1$，所以 $\lambda = \pm 1$。因此 $A$ 的特征值只能是 $\pm 1$。又由于 $A$ 是实正交矩阵，所以它的特征向量可以正交化得到一个标准正交基。也就是说，存在一个非奇异矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ$ 是一个对角矩阵，且对角线上的元素只可能是 $\pm 1$。

现在我们来考虑 $B$。我们有

$$
B^T B = (P^{-1}AP)^T P^{-1}AP = P^TA^TPP^{-1}AP = P^TAA^TP.
$$

因为 $A$ 是实正交矩阵，所以 $A^T = A^{-1}$，于是

$$
B^T B = P^TAA^TP = P^TAA^{-1}P = P^TIPP^{-1} = I.
$$

因此 $B$ 是实正交矩阵。同时，因为 $A$ 和 $B$ 是相似的，所以它们有相同的特征值。又因为 $A$ 的特征值只可能是 $\pm 1$，所以 $B$ 的特征值也只可能是 $\pm 1$。因此存在一个非奇异矩阵 $R$ 使得 $R^{-1}BR$ 是一个对角矩阵，且对角线上的元素只可能是 $\pm 1$。

现在令 $S = PQ^{-1}R$，那么 $S$ 是一个非奇异矩阵，因为 $P$、$Q$ 和 $R$ 都是非奇异矩阵。我们有

$$
B = P^{-1}AP = P^{-1}Q(Q^{-1}R)^{-1}RQ^{-1}P = (P^{-1}QS)^{-1}AS(P^{-1}QS).
$$

因此 $A$ 和 $B$ 正规相似，证毕。

证明矩阵相似于它的转置矩阵

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵。如果存在一个 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $A=P^{-1}AP$，则称 $A$ 和 $A^T$ 是相似的。

现在我们来证明矩阵 $A$ 和 $A^T$ 相似。设 $P$ 是 $A$ 的特征向量组成的矩阵，即 $AP=PD$，其中 $D$ 是对角矩阵，对角线上的元素是 $A$ 的特征值。则有：

$A^T(P^{-1})^T=D(P^{-1})^T$

两边同时左乘 $P^T$，得到：

$(P^T)^{-1}A^TP^T=(P^T)^{-1}DP^T$

因为 $P$ 可逆，所以 $P^T$ 也可逆，所以上式左边可以化简为 $A^T$，右边可以化简为对角矩阵，即：

$A^T=(P^T)^{-1}DP^T$

这样就得到了一个形如 $A^T=P^{-1}A^TP$ 的式子，说明 $A$ 和 $A^T$ 是相似的。证毕。