设N是实正规矩阵，证明N是正交矩阵且特征根全为实数和N是对称矩阵特征为±1,，N^2=E三条彼此等价

首先证明如果$N$是实正规矩阵，则$N$是正交矩阵且特征根全为实数。

由于$N$是正规矩阵，即$N^HN=NN^H$，其中$H$表示共轭转置。因此，$N^HN=NN^H=(N^HN)^H$，即$N^HN$是自共轭的，因此它是一个实对称矩阵。而实对称矩阵一定可以通过正交对角化，即存在正交矩阵$Q$和对角矩阵$\Lambda$，使得$N^HN=Q\Lambda Q^{-1}$。由于$N^HN$是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，记为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$。由于$N^HN$与$NN^H$有相同的特征值，因此$N$的特征值也都是实数。同时，由于$Q$是正交矩阵，因此$N=Q\Lambda^{1/2}Q^{-1}$也是一个正交矩阵。

接下来证明如果$N$是对称矩阵特征为±1，则$N^2=E$。

由于$N$是对称矩阵，因此可以通过正交对角化，即存在正交矩阵$Q$和对角矩阵$\Lambda$，使得$N=Q\Lambda Q^{-1}$。由于$N$的特征值都是±1，因此$\Lambda$的对角元只可能是±1。而且由于$N$是对称矩阵，因此$N^T=N$，即$Q\Lambda Q^{-1}=(Q\Lambda Q^{-1})^T=Q\Lambda Q^{-1}$，因此$Q$是一个正交矩阵。因此，对于任意向量$x$，有：
$$
\begin{aligned}
N^2x&=N(Nx)\\
&=Q\Lambda Q^{-1}(Q\Lambda Q^{-1}x)\\
&=Q\Lambda^2 Q^{-1}x
\end{aligned}
$$
其中$\Lambda^2$的对角元为±1。因此，对于任意向量$x$，有$N^2x=\pm x$，即$N^2=\pm E$。但是，由于$N$是正交矩阵，因此$N^TN=NN^T=E$，因此$N^2=E$。

综上所述，如果$N$是实正规矩阵，则$N$是正交矩阵且特征根全为实数，且如果$N$是对称矩阵特征为±1，则$N^2=E$。而且这三条命题彼此等价。