设N是对角分块矩阵,N是正规矩阵当且仅当每个Nt是正规矩阵
时间: 2023-06-24 15:04:48 浏览: 40
设 $N$ 是对角分块矩阵,即 $N = \begin{bmatrix}N_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & N_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & N_k\end{bmatrix}$,其中 $N_i$ 是 $n_i \times n_i$ 的矩阵。
首先,假设 $N$ 是正规矩阵。则对于任意 $i \in \{1, 2, \cdots, k\}$,我们有:
\begin{aligned} N_i^* N_i &= (N_i^\top)^T N_i \\ &= (N_i^\top N_i)^\top \\ &= (N^\top N)_{ii} \\ &= (NN^\top)_{ii} - \sum_{j \neq i} (NN^\top)_{ij} \\ &= \sum_{j=1}^k (N_j^\top N_j)_{ii} - \sum_{j \neq i} (N_j^\top N_j)_{ij} \end{aligned}
其中第二个等号是因为 $N_i$ 是对角矩阵,所以 $N_i^\top = N_i$;第三个等号是因为 $N$ 是正规矩阵;第四个等号是 $N$ 的第 $i$ 个对角块的元素为 $N_i^\top N_i$,其余元素为 $0$。
又因为 $N_i^\top N_i$ 和 $N_j^\top N_j$ 对于 $i \neq j$ 是对角线上元素都为 $0$ 的矩阵,所以我们有:
$$N_i^* N_i = N_i^\top N_i$$
这意味着 $N_i$ 是正规矩阵。
反过来,假设每个 $N_i$ 都是正规矩阵。则对于任意 $i \in \{1, 2, \cdots, k\}$,我们有:
\begin{aligned} NN^* &= \begin{bmatrix}N_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & N_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & N_k\end{bmatrix} \begin{bmatrix}N_1^* & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & N_2^* & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & N_k^*\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}N_1 N_1^* & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & N_2 N_2^* & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & N_k N_k^*\end{bmatrix} \end{aligned}
其中第二个等号是因为 $N_i N_j^* = 0$ 对于 $i \neq j$。
由于每个 $N_i$ 都是正规矩阵,所以 $N_i N_i^* = N_i^* N_i$。因此,$NN^* = N^* N$。
又因为每个 $N_i$ 都是正规矩阵,所以 $N_i^* N_i = N_i N_i^*$。因此,$N^* N = NN^*$。
这意味着 $N$ 是正规矩阵。
综上所述,$N$ 是正规矩阵当且仅当每个 $N_i$ 是正规矩阵。