如何将分块矩阵分解为三个对称分块矩阵的乘积
时间: 2023-09-26 08:04:34 浏览: 45
设分块矩阵 $A$ 为 $A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}$,其中 $A_{11},A_{22},A_{33}$ 均为对称矩阵。
我们可以通过以下步骤将 $A$ 分解为三个对称分块矩阵的乘积:
1. 对 $A_{11}$ 进行 Cholesky 分解,得到 $A_{11}=L_{11}L_{11}^T$,其中 $L_{11}$ 为下三角矩阵。
2. 计算 $A_{21}L_{11}^{-T}$,得到矩阵 $B_{21}=A_{21}L_{11}^{-T}$。
3. 计算 $A_{22}-B_{21}B_{21}^T$,得到矩阵 $C_{22}=A_{22}-B_{21}B_{21}^T$,其中 $C_{22}$ 为对称矩阵。
4. 对 $C_{22}$ 进行 Cholesky 分解,得到 $C_{22}=L_{22}L_{22}^T$,其中 $L_{22}$ 为下三角矩阵。
5. 计算 $A_{31}L_{11}^{-1}$,得到矩阵 $B_{31}=A_{31}L_{11}^{-1}$。
6. 计算 $A_{32}L_{22}^{-T}$,得到矩阵 $B_{32}=A_{32}L_{22}^{-T}$。
7. 计算 $A_{33}-B_{31}B_{31}^T-B_{32}B_{32}^T$,得到矩阵 $C_{33}=A_{33}-B_{31}B_{31}^T-B_{32}B_{32}^T$,其中 $C_{33}$ 为对称矩阵。
8. 得到分块矩阵 $A$ 的对称分块矩阵乘积表示:$A=\begin{pmatrix}L_{11}&0&0\\B_{21}&L_{22}&0\\B_{31}&B_{32}&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}L_{11}^T&B_{21}^T&B_{31}^T\\0&L_{22}^T&B_{32}^T\\0&0&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&0&0\\0&I&0\\0&0&C_{33}\end{pmatrix}$。
注意到在上述步骤中,我们需要保证 $A_{11}$ 是正定矩阵,否则 Cholesky 分解无法进行。此外,还需要保证 $C_{22}$ 和 $C_{33}$ 是正定矩阵,否则 Cholesky 分解同样无法进行。