设A是实m*n矩阵，秩为r,则必存在正交矩阵U,V,使得U'AV对角线是A的特征值，给出证明

我们可以利用矩阵的奇异值分解来证明这个定理。

对于任意实矩阵A，存在实数奇异值分解 A = UΣV^T，其中U和V都是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，其对角线元素为矩阵A的奇异值。

因为矩阵A的秩为r，所以它最多只有r个非零奇异值。设矩阵A的奇异值为σ1, σ2, ..., σr，对应的左奇异向量为u1, u2, ..., ur，右奇异向量为v1, v2, ..., vr。

将左奇异向量和右奇异向量构成的正交矩阵分别记为U和V，对于任意的1 ≤ i ≤ r，有：

A vi = σi ui
A^T ui = σi vi

我们可以将这些式子写成矩阵形式：

AV = UΣ
A^TU = VΣ

从中可以看出，U'AV = Σ是一个对角矩阵，其对角线元素为矩阵A的奇异值。

因此，我们证明了对于任意实m*n矩阵A，存在正交矩阵U和V，使得U'AV对角线是A的特征值。

相关问题

证明n*n维实矩阵A的对称部分的特征值小于等于A的二范数。

首先，我们需要明确对称矩阵的特征值都是实数。因为对称矩阵的特征向量是正交的，所以对于任意一个向量x，都有：

x^T * Ax = x^T * A^T * x

因为A是对称矩阵，所以A^T = A，于是上式可以改写为：

x^T * Ax = x^T * A * x

我们考虑将A分解为A = S + B，其中S是A的对称部分，B是A的反对称部分。因为S是对称矩阵，所以S可以进行特征值分解：

S = QΛQ^T

其中，Q是正交矩阵，Λ是对角矩阵，其对角线上的元素就是S的特征值。因为S是对称矩阵，所以其特征值都是实数。

我们将上式代入原式，得到：

x^T * (S + B) * x = x^T * S * x + x^T * B * x

因为S是对称矩阵，所以x^T * S * x一定是实数。而x^T * B * x是纯虚数，因为B是反对称矩阵。

因此，我们可以得到：

| x^T * Ax | = | x^T * (S + B) * x | <= | x^T * S * x | + | x^T * B * x |

因为| x^T * B * x | <= | x |^2 * ||B||，其中||B||表示B的二范数。因此，我们可以将上式继续变形，得到：

| x^T * Ax | <= | x^T * S * x | + | x |^2 * ||B||

现在我们来分别计算|x^T * S * x|和||B||：

|x^T * S * x| = |x^T * QΛQ^T * x| = |(Q^T * x)^T * Λ * (Q^T * x)|

因为Q是正交矩阵，所以Q^T * x的范数等于x的范数，而且(Q^T * x)^T * (Q^T * x) = x^T * Q * Q^T * x = x^T * x = ||x||^2。因此，我们可以得到：

|x^T * S * x| = ||Q^T * x||^2 * ||Λ||

其中，||Λ||表示Λ的最大特征值。因为S是对称矩阵，所以其特征值都是实数，因此||Λ||就是S的最大特征值。

接下来我们来计算||B||。因为B是反对称矩阵，所以它的元素满足b_ij = -b_ji。因此，B的二范数可以表示为：

||B||^2 = sum_i=1^n sum_j=1^n b_ij^2 = 2 * sum_i<j b_ij^2

现在我们来将这些结果代入之前的不等式中，得到：

| x^T * Ax | <= ||Q^T * x||^2 * ||Λ|| + ||x||^2 * ||B||

我们要证明的是对称部分的特征值小于等于A的二范数。因此，我们可以假设A的最大特征值为λ_max，对应的特征向量为v_max。我们取x = v_max，代入上式中，得到：

| v_max^T * A * v_max | <= ||v_max||^2 * ||Λ|| + ||v_max||^2 * ||B||

因为v_max是A的特征向量，所以有Av_max = λ_maxv_max。因此，

| v_max^T * A * v_max | = λ_max * ||v_max||^2

将这个结果代入上式，得到：

λ_max * ||v_max||^2 <= ||v_max||^2 * ||Λ|| + ||v_max||^2 * ||B||

因为v_max不等于0，所以我们可以将||v_max||^2约掉，得到：

λ_max <= ||Λ|| + ||B||

因为Λ是S的特征值，而S是A的对称部分，所以S的特征值都小于等于A的特征值。因此，||Λ||就是A的对称部分的特征值的最大值。另外，我们已经证明了||B||^2 = 2 * sum_i<j b_ij^2，而b_ij是A的非对称部分的元素，因此||B||表示A的非对称部分的二范数。因为A的二范数等于其所有特征值的平方和的平方根，所以我们可以得到：

||A||^2 = sum_i=1^n λ_i^2

其中，λ_i表示A的第i个特征值。因此，

||A||^2 = sum_i=1^n λ_i^2 >= λ_max^2

将这个结果代入之前的不等式中，得到：

λ_max <= ||Λ|| + ||B|| <= sqrt(sum_i=1^n λ_i^2)

因此，我们证明了对称部分的特征值小于等于A的二范数。

为什么对称矩阵可以对角化

对称矩阵可以对角化的原因是因为它是一个正交矩阵的特征矩阵。具体来说，对于一个对称矩阵A，我们可以找到一个正交矩阵P，使得$P^TAP$是一个对角矩阵。这个过程称为对称矩阵的对角化。

证明过程如下：

首先，对称矩阵的特征值一定是实数，因为它的特征多项式是一个实系数多项式。同时，对称矩阵的特征向量一定可以正交归一化，因为它的不同特征值所对应的特征向量是正交的。

接着，我们可以找到一组正交基，其中每个向量都是对称矩阵的特征向量。设这组基为$\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$，对应的特征值为$\{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\}$，则有$Av_i=\lambda_iv_i$。

我们将这组基正交归一化，得到$\{u_1,u_2,\dots,u_n\}$。设正交矩阵$P$的第$i$列为$u_i$，则$P$是一个正交矩阵，即$P^TP=I$。

我们有$AP=PD$，其中$D$是一个对角矩阵，对角线上的元素为$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$，即$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$。

因此，$P^TAP=P^T\cdot PD\cdot P=D$，是一个对角矩阵。

因此，对称矩阵可以对角化。