[[1, 0],[0,1],[1,0]]的奇异值分解过程
时间: 2023-08-31 11:43:45 浏览: 65
### 回答1:
根据矩阵的奇异值分解定义,矩阵$A$的奇异值分解表示为:
$A = U\Sigma V^T$
其中,$U$和$V$是正交矩阵,$\Sigma$是对角矩阵,对角线上的元素为矩阵$A$的奇异值。
对于矩阵$A=[[1, 0],[0,1],[1,0]]$,我们可以按如下步骤进行奇异值分解:
1.计算$A$的转置矩阵$A^T$:
$A^T = [[1,0,1],[0,1,0]]$
2. 计算$A^TA$:
$A^TA = [[2,0],[0,2]]$
3.求$A^TA$的特征值和特征向量:
$A^TA - \lambda I = [[2-\lambda,0],[0,2-\lambda]]$,因此$A^TA$的特征值为2和2,特征向量为$[1,0]$和$[0,1]$。
4.计算$V$:
将$A^TA$的特征向量作为V的列向量:
$V = [[1,0],[0,1]]$
5.计算$\Sigma$:
将$A^TA$的特征值作为$\Sigma$的对角线元素:
$\Sigma = [[\sqrt{2},0],[0,\sqrt{2}]]$
6.计算$U$:
由于$A=U\Sigma V^T$,因此也可以写成$AV = U\Sigma$,即$AV$的每一列是$U\Sigma$的一列,因此$U = AV\Sigma^{-1}$:
$AV = [[1,0],[0,1],[1,0]][[\sqrt{2},0],[0,\sqrt{2}]][[1,0],[0,1]]^T = [[\sqrt{2},0],[0,\sqrt{2}],[\sqrt{2},0]]$
$\Sigma^{-1} = [[\frac{1}{\sqrt{2}},0],[0,\frac{1}{\sqrt{2}}]]^{-1} = [[\sqrt{2},0],[0,\sqrt{2}}]$
$U = AV\Sigma^{-1} = [[1,0],[0,1],[1,0]][[1,0],[0,1]] = [[1,0],[0,1],[1,0]]$
因此,矩阵$A=[[1, 0],[0,1],[1,0]]$的奇异值分解为:
$A = U\Sigma V^T = [[1,0],[0,1],[1,0]][[\sqrt{2},0],[0,\sqrt{2}]][[1,0],[0,1]]^T$
### 回答2:
奇异值分解(SVD)是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法。对于给定的矩阵A,可进行奇异值分解,得到如下结果:A = UΣV^T。
给定矩阵[[1, 0],[0,1],[1,0]],我们进行奇异值分解过程如下:
1. 首先,计算矩阵A的转置矩阵A^T:
A^T = [[1, 0, 1],[0, 1, 0]]
2. 计算A与A^T的乘积AA^T:
AA^T = [[1, 0, 1],[0, 1, 0]] * [[1, 0],[0,1],[1,0]] = [[2, 0],[0,1]]
3. 计算AA^T的特征值和特征向量。
其中,特征值为λ1 = 2,λ2 = 1,对应的特征向量为v1 = [1, 0]和v2 = [0, 1]。
4. 根据特征值和特征向量,我们可以得到矩阵A的右奇异矩阵V。
V = [v1, v2] = [[1, 0],[0, 1]]
5. 接下来,我们计算A^T与A的乘积A^TA:
A^TA = [[1, 0],[0,1],[1,0]] * [[1, 0, 1],[0, 1, 0]] = [[2, 0, 1],[0, 1, 0],[1, 0, 1]]
6. 计算A^TA的特征值和特征向量。
其中,特征值为λ1 = 3,λ2 = 1,λ3 = 0,对应的特征向量为u1 = [1, 0, 1],u2 = [0, 1, 0],u3 = [-1, 0, 1]。
7. 根据特征值和特征向量,我们可以得到矩阵A的左奇异矩阵U。
U = [u1, u2, u3] = [[1, 0, -1],[0, 1, 0],[1, 0, 1]]
8. 最后,我们可以得到矩阵A的奇异值矩阵Σ。
Σ = [[√3, 0], [0, 1], [0, 0]]
综上所述,对于给定的矩阵[[1, 0],[0,1],[1,0]],它的奇异值分解为A = UΣV^T,其中U = [[1, 0, -1],[0, 1, 0],[1, 0, 1]],Σ = [[√3, 0], [0, 1], [0, 0]],V = [[1, 0],[0, 1]]。
### 回答3:
奇异值分解(Singular Value Decomposition,简称SVD)是一种重要的矩阵分解方法,广泛应用于数据降维、图像压缩、推荐系统等领域。下面是对[[1, 0],[0,1],[1,0]]的奇异值分解过程的解释:
首先,给定矩阵A = [[1, 0],[0,1],[1,0]]。
1. 计算A的转置矩阵AT。
AT = [[1,0,1],[0,1,0]]
2. 计算A和AT的乘积AA^T。
AA^T = [[1,0],[0,1],[1,0]] * [[1,0,1],[0,1,0]] = [[2,0,1],[0,1,0],[1,0,1]]
3. 求AA^T的特征值和特征向量。
计算AA^T的特征多项式并解方程可得特征值λ1 = 2,λ2 = 0,λ3 = 2。对于λ1 = 2,对应的特征向量x1 = [1,0,1];对于λ2 = 0,对应的特征向量x2 = [0,1,0];对于λ3 = 2,对应的特征向量x3 = [-1,0,1]。
4. 标准化特征向量。
将特征向量单位化,得到标准化的特征向量u1 = [1/√2,0,1/√2],u2 = [0,1,0],u3 = [-1/√2,0,1/√2]。
5. 计算AA^T的特征值对应的特征向量。
由特征值λ1 = 2,得到特征向量v1 = [1/√2,1/√2];由特征值λ2 = 0,得到特征向量v2 = [-1/√2,1/√2];由特征值λ3 = 2,得到特征向量v3 = [1/√2,-1/√2]。
6. 构建奇异值矩阵Σ。
由于AA^T是3×3的矩阵,因此Σ是一个3×3的对角矩阵,其中对角线上的元素是非负实数奇异值。奇异值的大小由特征值特别是AA^T的特征值决定。将3个特征值排序得到奇异值σ1 = √2,σ2 = √2,σ3 = 0,将这些奇异值放入Σ的对角线上,得到Σ = [[√2,0,0],[0,√2,0],[0,0,0]]。
7. 得到奇异值分解结果。
将标准化特征向量矩阵U,奇异值矩阵Σ和特征向量矩阵V组合得到原始矩阵A:A = UΣV^T = [[1/√2,0,1/√2],[0,1,0]] * [[√2,0,0],[0,√2,0],[0,0,0]] * [[1/√2,1/√2],[-1/√2,1/√2],[0,0]]^T。
这就是[[1, 0],[0,1],[1,0]]的奇异值分解过程。其中,U是一个3×2的正交矩阵,Σ是一个2×2的对角矩阵,V是一个2×2的正交矩阵。奇异值分解将原始矩阵分解为三个矩阵的乘积,其中U和V矩阵是正交矩阵,Σ矩阵是一个对角矩阵,表示了原始矩阵在一组正交基上的缩放比例。
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