用松野迭代格式计算一维线性平流方程的数值解的python代码

一维线性平流方程可以写成以下形式：

$$\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$

其中 $u$ 是未知函数，$a$ 是常数。为了使用松野迭代格式求解该方程，我们需要将其离散化。可以采用向前差分和向后差分的方式对时间和空间进行离散化，得到以下差分方程：

$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} + a\frac{u_i^n-u_{i-1}^n}{\Delta x} = 0$$

其中 $u_i^n$ 表示在时间 $n\Delta t$ 和位置 $i\Delta x$ 处的解，$\Delta t$ 和 $\Delta x$ 分别表示时间和空间上的离散化步长。

接下来，我们可以将上述差分方程改写为松野迭代格式的形式：

$$u_i^{n+1} = \frac{1}{1+\frac{a\Delta t}{\Delta x}}u_i^n + \frac{a\Delta t}{\Delta x(1+\frac{a\Delta t}{\Delta x})}(u_{i-1}^{n+1}+u_{i+1}^{n})$$

根据上述公式，我们可以写出以下求解一维线性平流方程的松野迭代格式的 Python 代码：

import numpy as np

def solve_linear_advection(a, u0, dx, dt, t):
    # 计算空间和时间上的离散化步长
    nx = len(u0)
    nt = int(t/dt)
    
    # 初始化解矩阵
    u = np.zeros((nt+1, nx))
    u[0,:] = u0
    
    # 计算迭代系数
    alpha = a*dt/dx
    beta = 1/(1+alpha)
    
    # 迭代求解
    for n in range(nt):
        for i in range(1,nx-1):
            u[n+1,i] = beta*u[n,i] + alpha*beta*(u[n,i-1]+u[n,i+1])
        # 边界条件
        u[n+1,0] = u[n+1,-1] = 0
    
    return u

其中，`a` 表示平流速度，`u0` 表示初始解，`dx` 和 `dt` 分别表示空间和时间上的离散化步长，`t` 表示求解的总时间。函数返回一个 $nt+1\times nx$ 的矩阵，其中第 $n$ 行表示时间 $n\Delta t$ 时的解。注意，在上述代码中，我们假设边界条件为 $u=0$。如果有其他边界条件，需要对代码进行相应的修改。