用C++实现一个无迹卡尔曼滤波

无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）是一种基于卡尔曼滤波的非线性滤波方法，适用于非线性系统的状态估计问题。相比于传统的扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF），UKF不需要对非线性函数进行线性化，因此具有更好的鲁棒性和精度。

以下是一个简单的C++实现无迹卡尔曼滤波的示例：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

// 状态向量维度
const int n = 2;

// 观测向量维度
const int m = 1;

// 系统噪声方差
const double q = 0.01;

// 观测噪声方差
const double r = 0.1;

// UKF参数
const double alpha = 0.001;
const double beta = 2;
const double kappa = 0;

// 状态转移函数
VectorXd f(const VectorXd& x) {
    VectorXd x_next(n);
    x_next(0) = x(0) + x(1);
    x_next(1) = x(1);
    return x_next;
}

// 观测函数
VectorXd h(const VectorXd& x) {
    VectorXd z(m);
    z(0) = x(0);
    return z;
}

// 生成Sigma点
MatrixXd generate_sigma_points(const VectorXd& x, const MatrixXd& P) {
    MatrixXd X(n, 2*n+1);
    MatrixXd A = (sqrt(n+kappa)*P).transpose();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        X.col(i+1) = x + A.col(i);
        X.col(i+n+1) = x - A.col(i);
    }
    X.col(0) = x;
    return X;
}

// UKF预测
void predict(VectorXd& x, MatrixXd& P) {
    // 生成Sigma点
    MatrixXd X = generate_sigma_points(x, P);

    // 计算预测均值和协方差矩阵
    VectorXd x_pred(n);
    MatrixXd P_pred(n, n);
    x_pred.setZero();
    P_pred.setZero();
    for (int i = 0; i < 2*n+1; i++) {
        x_pred += f(X.col(i));
    }
    x_pred /= 2*n+1;
    for (int i = 0; i < 2*n+1; i++) {
        VectorXd dx = f(X.col(i)) - x_pred;
        P_pred += dx * dx.transpose();
    }
    P_pred /= 2*n+1;
    P_pred += q * MatrixXd::Identity(n, n);

    x = x_pred;
    P = P_pred;
}

// UKF更新
void update(VectorXd& x, MatrixXd& P, const VectorXd& z) {
    // 生成Sigma点
    MatrixXd X = generate_sigma_points(x, P);

    // 计算预测观测均值和协方差矩阵
    VectorXd z_pred(m);
    MatrixXd Pzz(m, m);
    MatrixXd Pxz(n, m);
    z_pred.setZero();
    Pzz.setZero();
    Pxz.setZero();
    for (int i = 0; i < 2*n+1; i++) {
        z_pred += h(X.col(i));
    }
    z_pred /= 2*n+1;
    for (int i = 0; i < 2*n+1; i++) {
        VectorXd dz = h(X.col(i)) - z_pred;
        Pzz += dz * dz.transpose();
        VectorXd dx = X.col(i) - x;
        Pxz += dx * dz.transpose();
    }
    Pzz /= 2*n+1;
    Pzz += r * MatrixXd::Identity(m, m);
    Pxz /= 2*n+1;

    // 计算卡尔曼增益
    MatrixXd K = Pxz * Pzz.inverse();

    // 更新状态和协方差矩阵
    x += K * (z - z_pred);
    P -= K * Pzz * K.transpose();
}

int main() {
    // 初始化状态和协方差矩阵
    VectorXd x(n);
    MatrixXd P(n, n);
    x << 1, 0;
    P << 1, 0, 0, 1;

    // 生成随机数据
    srand(time(NULL));
    std::vector<double> data;
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        double val = rand() / (double)RAND_MAX;
        data.push_back(val);
    }

    // 运行UKF
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        // 预测
        predict(x, P);

        // 更新
        VectorXd z(m);
        z << data[i];
        update(x, P, z);

        // 输出结果
        std::cout << "x(" << i+1 << "): " << x.transpose() << std::endl;
    }

    return 0;
}

在这个示例中，我们考虑一个只有一个状态变量的非线性系统，状态变量的状态转移函数为 $f(x_k)=[x_k+x_{k-1},x_{k-1}]^T$ ，观测函数为 $h(x_k)=x_k$ 。我们使用随机数据对系统进行观测，并使用UKF对系统状态进行估计。在程序运行过程中，我们输出每个时间步的状态估计结果。

需要注意的是，在实际应用中，需要根据具体问题进行调整和优化UKF参数。