旅行商问题【输入形式】第一行有两个数n、m表示n个城市,m条边。接下来的m行均为空格隔开的三个整数A B C,表示城市A和B之间的成本为C【输出形式】最小成本最小成本对应的路径【样例输入】4 6 [0 1 30][0 2 6][0 3 4][1 2 5][1 3 10][2 3 20]【样例输出】25 0 2 1 3 0 请用题目中样例,详细给出用动态规划法求解该旅行商问题的过程。
时间: 2023-12-10 08:37:37 浏览: 28
首先,我们需要了解旅行商问题的定义和目标。旅行商问题是指一个旅行商要前往 n 个城市,每个城市只能去一次,最终回到出发城市,问如何规划路线使得旅行的总成本最小。在本题中,我们需要使用动态规划来解决这个问题,下面是具体的步骤:
1. 定义状态
我们需要定义状态来表示问题的子问题和最终答案。在本题中,可以定义状态 f[S][i] 表示已经访问的城市集合为 S,最后一个访问的城市为 i 的最小成本。
2. 状态转移方程
我们需要根据状态来推导状态转移方程。对于状态 f[S][i],我们可以考虑添加一个中间城市 j,使得 f[S][i] 的最小成本变为 f[S-{i}][j] + cost[j][i],其中 cost[j][i] 表示从城市 j 到城市 i 的成本。因此,状态转移方程可以表示为:
f[S][i] = min(f[S-{i}][j] + cost[j][i]),其中 j∈S,j≠i
3. 初始化
根据状态转移方程,我们需要初始化 f[∅][i],即未访问任何城市时,从出发城市到城市 i 的最小成本为 cost[0][i]。
4. 最终答案
根据状态 f[S][i],我们可以得到最终的答案为 min(f[{0,1,2,...,n-1}][j] + cost[j][0]),其中 j∈{0,1,2,...,n-1}。
5. 代码实现
根据以上步骤,我们可以编写如下的动态规划代码来解决旅行商问题:
```python
import sys
def tsp(n, m, edges):
# 初始化 cost 矩阵
cost = [[sys.maxsize] * n for _ in range(n)]
for i in range(n):
cost[i][i] = 0
for a, b, c in edges:
cost[a][b] = cost[b][a] = c
# 动态规划求解
f = [[sys.maxsize] * n for _ in range(1 << n)]
for i in range(n):
f[1 << i][i] = cost[0][i]
for S in range(1, 1 << n):
for i in range(n):
if (S >> i) & 1:
for j in range(n):
if (S >> j) & 1 and j != i:
f[S][i] = min(f[S][i], f[S ^ (1 << i)][j] + cost[j][i])
# 寻找最小成本路径
path = [0]
S, i = (1 << n) - 1, 0
for _ in range(n - 1):
for j in range(n):
if (S >> j) & 1 and j != i and f[S][i] == f[S ^ (1 << i)][j] + cost[j][i]:
path.append(j)
S ^= 1 << i
i = j
break
path.append(0)
return f[(1 << n) - 1][0], path
# 测试样例
n, m = 4, 6
edges = [[0, 1, 30], [0, 2, 6], [0, 3, 4], [1, 2, 5], [1, 3, 10], [2, 3, 20]]
cost, path = tsp(n, m, edges)
print(cost)
print(' '.join(str(p) for p in path))
```
输出结果为:
```
25
0 2 1 3 0
```
其中,第一行为最小成本,第二行为最小成本对应的路径。
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