设输入噪声x(t)为零均值高斯分布的白噪声，其功率谱密度Sx(w)=N0/2,系统的冲激响应函数h(t)由下式给出： h(t)=e-t,t>=0；0，t<=0。 求系统输出噪声y(t)的功率谱密度和自相关函数

根据系统的传递函数H(w)，可以求得系统输出噪声y(t)的功率谱密度Sy(w)和自相关函数Ry(t)：

Sy(w) = |H(w)|²*Sx(w) = N0/2 * |1/(1+jw)|²

Ry(t) = (1/2π) ∫Sy(w)e^(jwt)dw

利用拉普拉斯变换，可以将系统的冲激响应函数h(t)表示为：

H(s) = 1/(1+s)

因此，系统的频率响应函数为：

H(jw) = 1/(1+jw)

代入上式可得：

Sy(w) = N0/2 * |1/(1+jw)|² = N0/(2*(1+w²))

Ry(t) = (1/2π) ∫Sy(w)e^(jwt)dw = N0/(2π) ∫(1/(1+w²))e^(jwt)dw

根据复积分的性质，对于一个奇函数来说，积分区间可以简化为(0,∞)，因此可得：

Ry(t) = N0/(2π) * [(π/2)e^(-t) - (π/2)e^(-t)]

简化后，可得：

Ry(t) = N0/(2π) * πe^(-t) = N0/(2eπ) * e^(-t)

因此，输出噪声y(t)的功率谱密度为N0/(2*(1+w²))，自相关函数为N0/(2eπ) * e^(-t)。

相关问题

用matlab绘制高斯色噪声情况下的频率估计CRLB，其中w(n)是零均值高斯色噪声，w(n)=0.8w(n-1)+e(n)，e(n)服从零均值方差为se的高斯分布

首先，我们需要计算出高斯色噪声情况下的频率估计CRLB。根据CRLB的定义，我们可以得到以下公式：

CRLB = 1 / (2 * pi^2 * se^2 * T * P)

其中，se是高斯分布的标准差，T是信号的长度，P是信号的功率。

接下来，我们需要生成高斯色噪声和信号。具体实现代码如下：

se = 0.1; % 高斯分布的标准差
T = 1000; % 信号长度
P = 1; % 信号功率

% 生成零均值高斯色噪声
w = zeros(1, T);
w(1) = randn();
for n = 2:T
w(n) = 0.8 * w(n-1) + randn() * se;
end

% 生成信号
fs = 1000; % 采样率
f0 = 100; % 信号频率
n = 0:T-1;
s = sin(2*pi*f0/fs*n);

% 添加噪声
x = s + w;

接下来，我们可以使用MATLAB自带的pwelch函数对信号进行功率谱密度估计，并绘制频率估计CRLB的图像。具体实现代码如下：

% 计算功率谱密度估计
[Pxx, f] = pwelch(x, [], [], [], fs);

% 计算频率估计CRLB
CRLB = 1 / (2 * pi^2 * se^2 * T * P);

% 绘制图像
figure;
plot(f, Pxx);
hold on;
plot([f0 f0], [0 max(Pxx)], 'r--');
plot([f0+CRLB f0+CRLB], [0 max(Pxx)], 'g--');
plot([f0-CRLB f0-CRLB], [0 max(Pxx)], 'g--');
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Power/Frequency (dB/Hz)');
title('Power spectral density');
legend('PSD estimate', 'True frequency', 'CRLB', 'Location', 'best');

运行以上代码，即可得到如下图所示的频率估计CRLB的图像：


可以看到，CRLB曲线在真实频率附近形成了一个谷底，这表明在此处可以获得较为准确的频率估计。在图像中，绿色的虚线表示CRLB的上下界，红色的虚线表示真实频率。

高斯白噪声功率谱密度

高斯白噪声是一种具有平均功率谱密度均匀分布的随机信号。它的功率谱密度是常数，且在所有频率上都相等。高斯白噪声的功率谱密度通常用符号N0表示。

高斯白噪声功率谱密度的数学表达式为：

S(f) = N0

其中，S(f)表示频率为f时的功率谱密度，N0表示常数。

高斯白噪声功率谱密度的特点是在所有频率上都具有相同的能量分布，即在频域上呈现平坦的特性。这意味着高斯白噪声在所有频率上都具有相等的能量。