设共有 N = 1, 2, 3, ..., I 个产品，这 I 个产品间都可以相互替代。每种产品的不确定需求为 zi ，产品的生产成本为 ci，产品的超储成本为 hi，缺货成本为 bi, 设当产品 j 的数量不能满足其需求时，可以用产品 i 代替的部分占其缺货部 分的百分比为 pij。目标是找到每个产品的最优库存 xi，使得满足不确定需求，且成本最小。请用latex语言写出分布式鲁棒优化模型

假设有 $K$ 个节点，每个节点 $k$ 上有一组决策变量 $\{x_{ik}\}_{i=1}^I$，表示产品 $i$ 在节点 $k$ 上的库存量。则可以构建分布式鲁棒优化模型如下：

$$\min_{\{x_{ik}\}_{i=1}^I} \sum_{k=1}^K \left[\sum_{i=1}^I\left(c_ix_{ik} + h_i\max(0,x_{ik}-z_i)\right) + \sum_{j=1}^I b_j\mathbb{E}_{P_j}[ \max(0,z_j-\sum_{i=1}^I p_{ij}x_{ik}) ]\right] + \lambda\sum_{k=1}^K W(F_k)$$

其中，$x_{ik}$ 表示产品 $i$ 在节点 $k$ 上的库存量，$c_i$ 表示产品 $i$ 的生产成本，$h_i$ 表示产品 $i$ 的超储成本，$z_i$ 表示产品 $i$ 的不确定需求，$b_j$ 表示缺货成本，$p_{ij}$ 表示当产品 $j$ 的数量不能满足其需求时，可以用产品 $i$ 代替的部分占其缺货部分的百分比，$F_k$ 表示节点 $k$ 上的产品库存分布，$W(F_k)$ 表示节点 $k$ 上的分布与全局分布之间的Wasserstein距离，$\lambda$ 表示Wasserstein距离的权重。

这个模型可以通过交替优化来求解，即先固定 $\{x_{ik}\}_{i=1}^I$，求解不同节点上的产品库存分布 $F_1, \dots, F_K$，然后再根据求解出的分布 $F_1, \dots, F_K$，求解 $\{x_{ik}\}_{i=1}^I$，如此交替迭代，直到收敛。