二维背包问题动态规划
时间: 2023-11-07 13:05:57 浏览: 43
二维背包问题是指对于每件物品,具有两种不同的费用,选择这件物品必须同时付出这两种代价,对于每种代价都有一个可付出的最大值(背包容量),求选择物品可以得到最大的价值。与0-1背包问题一样,二维背包问题也可以使用动态规划来解决。
具体的动态规划算法如下:
1. 定义一个二维数组dp[V+1][U+1],其中dp[i][j]表示在前i件物品中,两种费用分别不超过i和j时的最大价值。
2. 初始化dp数组的第一行和第一列为0,即dp[j] = dp[i] = 0。
3. 对于每件物品i,遍历背包容量v和u,计算dp[i][j]的值:
- 如果v[i]和u[i]小于等于v和u,即物品i可以放入背包中,有两个选择:选择物品i或者不选择物品i。如果选择物品i,则dp[i][j] = max(dp[i-1][j-v[i]][u-u[i]] + w[i]);如果不选择物品i,则dp[i][j] = dp[i-1][j][u]。
- 如果v[i]和u[i]大于v和u,即物品i不能放入背包中,则dp[i][j] = dp[i-1][j][u]。
4. 返回dp[V][U],即在两种费用分别不超过V和U的情况下,能够得到的最大价值。
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二维背包问题动态规划代码
二维背包问题是一个经典的动态规划问题,它是在背包问题的基础上进行扩展,背包中的物品不仅有重量,还有体积。以下是二维背包问题的动态规划代码示例:
```python
def knapsack_2d(weights, volumes, values, max_weight, max_volume):
n = len(weights)
dp = [[0] * (max_volume + 1) for _ in range(max_weight + 1)]
for i in range(1, n + 1):
for j in range(max_weight, weights[i - 1] - 1, -1):
for k in range(max_volume, volumes[i - 1] - 1, -1):
dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - weights[i - 1]][k - volumes[i - 1]] + values[i - 1])
return dp[max_weight][max_volume]
```
其中,`weights`是物品的重量列表,`volumes`是物品的体积列表,`values`是物品的价值列表,`max_weight`是背包的最大承重量,`max_volume`是背包的最大容量。
动态规划解二维背包问题
动态规划解二维背包问题的思路和一维背包问题类似,只是在状态转移方程上需要做出一些调整。在二维背包问题中,每个物品有两个属性,分别是体积和价值,而背包也有两个属性,分别是容量和承重。因此,我们需要定义一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j、承重为k的背包中所能获得的最大价值。状态转移方程如下:
dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j-v1][k-w1]+v1, dp[i-1][j-v2][k-w2]+v2)
其中,v1、w1、v2、w2分别表示第i个物品的体积和价值,dp[i][j][k]表示前i个物品放入容量为j、承重为k的背包中所能获得的最大价值。状态转移方程的含义是:对于第i个物品,我们可以选择不放入背包中,此时的价值为dp[i-1][j][k];也可以选择放入背包中,此时的价值为dp[i-1][j-v1][k-w1]+v1或dp[i-1][j-v2][k-w2]+v2,取其中的最大值即可。
代码如下(Python):
```python
n, m, p = map(int, input().split())
dp = [[0] * (m+1) for _ in range(p+1)]
for i in range(1, n+1):
v, w, q = map(int, input().split())
for j in range(p, q-1, -1):
for k in range(m, v-1, -1):
dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j-q][k-v]+w)
print(dp[p][m])
```