matlab LM算法实现

以下是一个基本的Levenberg-Marquardt (LM)算法的MATLAB实现：

function [x, cost] = lm(fun, x0, options)
% fun: 目标函数
% x0: 初始参数
% options: 优化选项（可选）

% 默认优化选项
default_options = struct('Display', 'iter', 'MaxIter', 100, 'TolFun', 1e-6, 'TolX', 1e-6, 'Damping', 0.01);

% 合并用户选项和默认选项
if nargin < 3
    options = default_options;
else
    options = merge_options(default_options, options);
end

% 初始化参数
x = x0;
n = length(x);
cost = zeros(options.MaxIter, 1);
lambda = options.Damping;
J = jac(fun, x);
f = feval(fun, x);
cost(1) = f'*f;

% 迭代优化
for k = 2:options.MaxIter
    % 计算增量dx
    A = J'*J + lambda*eye(n);
    b = J'*f;
    dx = - A\b;

    % 计算新的参数值和目标函数值
    x_new = x + dx;
    f_new = feval(fun, x_new);
    cost(k) = f_new'*f_new;

    % 更新参数和Jacobian矩阵
    if cost(k) < cost(k-1)
        lambda = lambda / 10;
        x = x_new;
        f = f_new;
        J = jac(fun, x);
        if norm(dx) < options.TolX || norm(f) < options.TolFun
            break;
        end
    else
        lambda = lambda * 10;
    end

    % 显示优化信息
    if strcmp(options.Display, 'iter')
        fprintf('Iteration %d, Cost = %f\n', k, cost(k));
    end
end

% 截取优化结果
cost = cost(1:k-1);
end

function J = jac(fun, x)
% 计算Jacobian矩阵
f = feval(fun, x);
n = length(x);
m = length(f);
J = zeros(m, n);
delta = 1e-8;
for i = 1:n
    x1 = x;
    x1(i) = x1(i) + delta;
    f1 = feval(fun, x1);
    J(:,i) = (f1 - f)/delta;
end
end

function options = merge_options(defaults, options)
% 合并选项
fields = fieldnames(defaults);
for i = 1:length(fields)
    if ~isfield(options, fields{i})
        options.(fields{i}) = defaults.(fields{i});
    end
end
end

其中，`fun`是目标函数，`x0`是初始参数向量，`options`是优化选项。函数返回的`x`是优化后的参数向量，`cost`是每次迭代的目标函数值。该实现使用了一个简单的Jacobian计算方法，即使用有限差分法计算Jacobian矩阵。

需要注意的是，该实现并未进行任何异常处理，例如出现数值不稳定的情况。如果需要更加稳定的LM算法实现，建议使用专业的数值优化库。