弧长法求解非线性振动的MATLAB实例程序

以下是使用弧长法求解非线性振动的MATLAB实例程序：

function [u,lambda] = arc_length_method(f,df,u0,lambda0,tol,maxIter)
% f: 函数句柄，用于计算非线性方程f(u,lambda)=0
% df: 函数句柄，用于计算雅可比矩阵
% u0: 初始解向量
% lambda0: 初始参数值
% tol: 收敛精度
% maxIter: 最大迭代次数
% u: 迭代解向量
% lambda: 迭代参数值

% 初始化
u = u0;
lambda = lambda0;
du = zeros(size(u));
dlambda = 0;

% 计算初始残量向量
f0 = f(u0,lambda0);
residual = norm(f0);

% 迭代
for iter = 1:maxIter
    
    % 计算雅可比矩阵
    J = df(u,lambda);
    
    % 求解线性方程组
    A = [J du; du' dlambda];
    b = [f0; 0];
    x = -A \ b;
    
    % 更新解向量和参数值
    u = u + x(1:end-1);
    lambda = lambda + x(end);
    
    % 计算新的残量向量
    f1 = f(u,lambda);
    residual = norm(f1);
    
    % 判断是否收敛
    if residual < tol
        break;
    end
    
    % 计算步长
    du = f1 - f0;
    dlambda = -(du' * du) / (2 * du' * J * du);
    
    % 更新残量向量
    f0 = f1;
    
end

end

使用示例：

% 定义非线性方程和雅可比矩阵
f = @(u,lambda) [lambda * u(1)^3 - u(2); u(1)^2 + u(2)^2 - 1];
df = @(u,lambda) [3 * lambda * u(1)^2, -1; 2 * u(1), 2 * u(2)];

% 初始解向量和参数值
u0 = [0.6; 0.8];
lambda0 = 0;

% 调用弧长法求解
[u,lambda] = arc_length_method(f,df,u0,lambda0,1e-6,100);

% 绘制解曲线
t = linspace(0,2*pi,100);
x = u(1) * cos(t);
y = u(2) * sin(t);
plot(x,y);
axis equal;

此程序使用弧长法求解一个非线性方程组，其中包含一个参数。程序中使用了牛顿迭代求解线性方程组，同时计算步长以保证收敛。使用示例中的方程组是一个圆形和一个三次方程的交点，程序输出的解曲线应该是一个圆。