23、 给定一棵有n个节点且节点编号为1到n的树,求满足以下条件的路径组合数: 1. 从节点a到节点b的路径(称为路径ab) 边数为p 2. 从节点c到节点d的路径(称为路径cd)边数为q 3. 路径ab和cd不交,即不存在一个节点既在路径ab又在路径 cd上
时间: 2024-03-15 08:42:44 浏览: 44
这是一道比较经典的树上组合计数问题。解决这个问题的关键是要找到路径ab和路径cd的公共祖先,并计算路径ab从a到公共祖先的边数x,路径cd从c到公共祖先的边数y,以及公共祖先到根节点的边数z。这三个值可以通过树上的最近公共祖先算法来计算。
假设我们已经找到了路径ab和路径cd的公共祖先,现在考虑计算路径ab和路径cd不交的方案数。我们可以将这个问题转化为计算路径ab和路径cd相交的方案数,然后用总方案数减去相交的方案数就可以得到不交的方案数。
我们可以枚举路径ab和路径cd的交点,令交点为节点e。如果路径ab从a到e的边数为k,路径cd从c到e的边数为l,那么路径ab从e到b的边数就是p-k,路径cd从e到d的边数就是q-l。我们可以用动态规划来计算从e到b和从e到d的路径数,最终将它们相乘就是路径ab和路径cd相交的方案数。
具体来说,我们可以用dp1[i][j]表示从节点i到节点j的路径数,用dp2[i][j]表示从节点i到节点j的路径数,其中路径不能经过节点e。初始时,dp1[i][i]=1,dp2[i][i]=1。然后我们从公共祖先往下遍历树,计算dp1和dp2的值。如果遍历到的节点u不是节点e,那么dp1[u][v]=sum(dp1[v][w]),其中w是u的子节点,v是w到e路径上的最后一个节点。dp2的转移也类似。最终,从e到b的路径数就是dp1[e][b],从e到d的路径数就是dp2[e][d],路径ab和路径cd相交的方案数就是这两个值的乘积。
最后,不交的方案数就是总方案数减去相交的方案数。总方案数可以通过遍历树来计算,具体来说,我们可以枚举公共祖先e,然后计算从a到e和从c到e的路径数,再将它们相乘即可。