试求一阶因果系统y(n)-0.5y(n-1)=x(n)的幅频响性和相频响应。

要计算一阶因果系统的幅频响应（Magnitude Frequency Response, MFR）和相频响应（Phase Frequency Response, PFR），我们首先需要了解该线性时不变系统的一般表达式。对于给定的差分方程：

\[ y(n) - 0.5y(n-1) = x(n) \]

这是一个典型的第一型IIR滤波器（无限 impulse response），其中系统的传递函数H(z)可以通过z变换得到。对于离散时间的线性系统，其Z变换形式为：

\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1}}{1 + a_1 z^{-1}} \]

在这个例子中，\( a_1 = 0.5 \) 和 \( b_0 = 1 \) （因为初始条件y(0)通常设为0，所以没有b_0项）。为了找到MFR和PFR，我们需要分别计算模长（|H(z)|）和角频率依赖的相位（arg[H(z)])。

MFR可以用复数极点和零点来描述。对于单级IIR滤波器，MFR的峰值位置取决于系统的极点。由于这里只有一个极点（位于z=1/0.5=2处），MFR将有一个峰，对应的频率是采样率的倒数除以2π。具体数值由采样频率决定。

PFR则是从H(z)提取出来的时间常数乘以-90度，因为每个单位滞后对应相位增加-90度。在这个情况下，由于有一个滞后项，PFR会在频率f=0.5时开始变化，每经过一个周期，相位增加-90度。

以下是如何用Matlab来计算这两个参数的简单步骤：

% 假设采样率为Fs (Hz)
Fs = 1000; % 例如1 kHz

% 计算z变换的系数
a1 = 0.5;
b0 = 1;

% 构造Z变换的复数表示
numerator = b0 + a1 * exp(-1i*2*pi/Fs);
denominator = 1 + a1 * exp(-1i*2*pi/Fs);

% 计算幅频响应和相频响应
[Mfr,F] = freqz(numerator, denominator, [0 Fs/2], 'whole');
Mag = abs(Mfr); % 幅值
Phase = angle(Mfr); % 相位 (注意角度是以弧度表示)

% 显示结果
figure;
subplot(2,1,1);
plot(F, Mag, 'LineWidth', 2);
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude');
title('Magnitude Frequency Response');

subplot(2,1,2);
plot(F, Phase, 'LineWidth', 2);
hold on;
grid on;
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Phase (Radians)');
title('Phase Frequency Response');

运行这段代码后，你会看到幅频响应曲线以及相应的相位响应曲线。需要注意的是，实际应用中可能还需要进行其他处理，如窗口函数、归一化等，以获得更准确的结果。