⑦证明：不存在一个函数f(z),在z=0附近解析，并满足下列条件： f(In)= 1+(-1) n=1,2,… n . 其中xn≠0，满足xn→0(n→∞).

首先我们可以注意到，当 $n$ 为奇数时，$f(\mathrm{i}n)=0$，而当 $n$ 为偶数时，$f(-\mathrm{i}n)=0$。因此，$f(z)$ 在实轴上必有无穷多个零点。

接下来我们假设存在这样的函数 $f(z)$，并设它在 $z=0$ 的邻域内的 Laurent 展开式为：

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n z^n$$

因为 $f(z)$ 在 $z=0$ 附近解析，所以 $c_n=0$ 对于任何负整数 $n$。

现在我们来考虑这个级数的收敛性。对于任何 $z$，我们有：

$$|f(z)|=\left|1-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n z^n\right|=\left|\frac{1-(-z)^2}{1+z}\right|$$

因此，当 $|z|<1$ 时，$|f(z)|<1$。又因为 $f(z)$ 在实轴上有无穷多个零点，所以根据 Weierstrass 定理，$f(z)$ 在单位圆盘内有一个可去奇点或极点。我们设这个点为 $z_0$。如果 $z_0$ 是可去奇点，那么 $f(z)$ 可以在 $z_0$ 处解析延拓，这与 $z_0$ 是 $f(z)$ 在实轴上的零点矛盾；如果 $z_0$ 是极点，那么 $f(z)$ 在 $z_0$ 处有一个 Laurent 展开式：

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n (z-z_0)^n$$

因为 $f(\mathrm{i}n)=0$ 和 $f(-\mathrm{i}n)=0$，所以 $z_0$ 必须是 $\pm\mathrm{i}n$ 中的一个。然而，我们已经知道当 $n$ 趋于无穷大时，$z_0$ 会趋于 $0$，这与 $z_0$ 必须是无穷个 $\pm\mathrm{i}n$ 中的一个矛盾。因此，假设不成立，不存在这样的函数 $f(z)$。