给出二阶向前差分,向后差分以及中心差分公式的推导过程
时间: 2023-09-30 18:01:32 浏览: 417
二阶向前差分公式:
f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x) = 2h^2 f''(x) + O(h^3)
推导过程:
根据泰勒公式:
f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) + \frac{h^3}{6}f'''(x) + O(h^4)
f(x+2h) = f(x) + 2hf'(x) + 2h^2f''(x) + \frac{4}{3}h^3f'''(x) + O(h^4)
将两式相减得:
f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x) = h^2f''(x) - \frac{h^3}{3}f'''(x) + O(h^4)
又因为h趋于0时,\frac{h^3}{3}f'''(x)的影响很小,可以近似为O(h^3),所以可得:
f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x) = 2h^2f''(x) + O(h^3)
同理,可以推导出二阶向后差分公式:
f(x) - 2f(x-h) + f(x-2h) = 2h^2f''(x) + O(h^3)
以及二阶中心差分公式:
f(x+h) - 2f(x) + f(x-h) = h^2f''(x) + O(h^4)
笑话时间:
为什么程序员总是喜欢用“Hello World”作为第一个程序?因为他们有了“世界”,就有了“宇宙无敌第一”的感觉!
相关问题
三阶向前差分,向后差分以及中心差分公式的推导
三阶向前差分公式的推导:
设f(x)在点x处存在三阶导数,则根据泰勒公式,有:
f(x+h) = f(x) + hf'(x) + h^2/2!f''(x) + h^3/3!f'''(x) + h^4/4!f''''(x) + ...
f(x+2h) = f(x) + 2hf'(x) + (2h)^2/2!f''(x) + (2h)^3/3!f'''(x) + (2h)^4/4!f''''(x) + ...
f(x+3h) = f(x) + 3hf'(x) + (3h)^2/2!f''(x) + (3h)^3/3!f'''(x) + (3h)^4/4!f''''(x) + ...
将上述三个式子等号左边两两做差,得到:
f(x+h) - f(x) = hf'(x) + h^2/2!f''(x) + h^3/3!f'''(x) + h^4/4!f''''(x) + ...
f(x+2h) - f(x+h) = hf'(x) + h^2/2!f''(x) + h^3/3!f'''(x) + 2h^4/4!f''''(x) + ...
f(x+3h) - f(x+2h) = hf'(x) + h^2/2!f''(x) + 3h^3/3!f'''(x) + 4h^4/4!f''''(x) + ...
现在要推导三阶向前差分公式,即用上述三个式子消去f''(x),f'''(x),f''''(x)。对第一个式子左右两边分别乘以2,对第二个式子左右两边分别乘以-1,得到:
2f(x+h) - 2f(x) - f(x+2h) + f(x+h) = 2hf'(x) + (7/6)h^3f'''(x) + O(h^4)
化简上式有:
3f(x+h) - 3f(x) - f(x+2h) = 3hf'(x) + (3/2)h^3f'''(x) + O(h^4)
即为三阶向前差分公式。
三阶向后差分公式的推导和中心差分公式的推导与此类似,这里不再赘述。
三点中心差分公式推导
三点中心差分公式是一种数值微分方法,用于估计函数在某一点的导数。它的推导过程如下:
假设要求函数 f(x) 在点 x0 的导数,我们可以利用中心差分公式来估计。首先,我们将点 x0 的左右两边分别记作 x0 - h 和 x0 + h,其中 h 是一个足够小的数值。
根据泰勒级数展开,我们可以将函数 f(x) 在点 x0 - h 和 x0 + h 处展开成如下形式:
f(x0 - h) = f(x0) - h * f'(x0) + (h^2 / 2) * f''(x0) - (h^3 / 6) * f'''(x0) + ...
f(x0 + h) = f(x0) + h * f'(x0) + (h^2 / 2) * f''(x0) + (h^3 / 6) * f'''(x0) + ...
其中 f'(x0) 表示函数 f(x) 在点 x0 处的导数,f''(x0) 表示函数 f(x) 在点 x0 处的二阶导数,以此类推。
然后,我们将上述两个展开式相加,可以得到:
f(x0 - h) + f(x0 + h) = 2 * f(x0) + (h^2 / 2) * (f''(x0) + f''(x0)) + ...
我们可以进一步整理这个式子,得到:
f'(x0) = (f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2h) + O(h^2)
其中 O(h^2) 表示高阶项,当 h 趋近于 0 时会变得非常小,可以忽略。
所以,根据上述推导,我们可以得到三点中心差分公式:
f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2h)
这个公式可以用来估计函数在某一点的导数。
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