四点中心差分公式推导
时间: 2023-11-27 11:05:09 浏览: 95
四点中心差分公式是一种数值计算导数的方法,它利用函数在某一点附近的四个点来估计导数的值。推导过程如下:
假设我们要计算函数 f(x) 的导数在点 x0 处的值。我们可以在 x0 处两边各取两个点,分别记为 x1、x2 和 x3、x4,使得 x1 < x0 < x2 以及 x0 < x3 < x4。这四个点的间距可以取相等,记为 h,即 h = x2 - x1 = x4 - x3。
首先,我们可以通过泰勒级数展开来近似表示 f(x) 在这四个点附近的取值:
f(x1) = f(x0 - h) ≈ f(x0) - hf'(x0) + \frac{h^2}{2!}f''(x0) - \frac{h^3}{3!}f'''(x0)
f(x2) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + hf'(x0) + \frac{h^2}{2!}f''(x0) + \frac{h^3}{3!}f'''(x0)
f(x3) = f(x0 - h) ≈ f(x0) - hf'(x0) + \frac{h^2}{2!}f''(x0) - \frac{h^3}{3!}f'''(x0)
f(x4) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + hf'(x0) + \frac{h^2}{2!}f''(x0) + \frac{h^3}{3!}f'''(x0)
接下来,我们可以将以上四个式子相加,然后根据 f'(x0) 的定义,消去 f(x0) 和 f'''(x0),得到:
f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) ≈ 4f(x0) + 2h^2f''(x0)
将上式重新整理,我们可以得到四点中心差分公式的表达式:
f'(x0) ≈ \frac{f(x1) - f(x2) + f(x3) - f(x4)}{2h}
这就是四点中心差分公式的推导过程。