用matlab编写[-1,1]上2点、3点gauss-legendre公式

以下是MATLAB代码，其中`n`表示使用`n`点Gauss-Legendre公式：

2点Gauss-Legendre公式：

function [x,w] = gauss_legendre_2()
    x = [-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)];
    w = [1, 1];
end

3点Gauss-Legendre公式：

function [x,w] = gauss_legendre_3()
    x = [-sqrt(3/5), 0, sqrt(3/5)];
    w = [5/9, 8/9, 5/9];
end

注意，这里的权重已经被标准化了，即权重的和为1。如果需要对区间`[a,b]`进行积分，则需要将上述代码中的`x`数组进行线性变换，使得`x`在区间`[a,b]`上均匀分布，具体方法可以参考高斯-勒让德积分。

相关问题

用matlab编写gauss-legendre公式求积分代码

以下是使用Gauss-Legendre公式进行定积分的MATLAB代码示例：

function [I] = gaussLegendre(f, a, b, n)
% 高斯-勒让德公式求积分
% 输入变量：
%   f: 被积函数
%   a: 积分下限
%   b: 积分上限
%   n: 积分节点数（一般取偶数）
% 输出变量：
%   I: 积分结果

% 计算Gauss-Legendre节点和系数
[x, w] = gaussLegendreNodesWeights(n);

% 将区间[a,b]映射到[-1,1]
t = (b-a)/2 * x + (b+a)/2;

% 累加计算积分结果
I = 0;
for i = 1:n
    I = I + w(i) * f(t(i));
end
I = (b-a)/2 * I;

end

function [x, w] = gaussLegendreNodesWeights(n)
% 计算n个Gauss-Legendre节点和系数
% 输入变量：
%   n: 节点数（一般取偶数）
% 输出变量：
%   x: 节点
%   w: 权重

% 求解Gauss-Legendre方程的系数矩阵
beta = 0.5 ./ sqrt(1-(2*(1:n)).^(-2));
T = diag(beta,1) + diag(beta,-1);
[V, D] = eig(T);
[x, i] = sort(diag(D));
w = 2 * V(1,i).^2;

end

使用示例：

% 定义被积函数
f = @(x) sin(x) ./ x;

% 积分区间及节点数
a = 0; b = pi; n = 4;

% 调用高斯-勒让德公式求积分
I = gaussLegendre(f, a, b, n)

其中，`f`表示被积函数，`a`和`b`表示积分区间，`n`表示积分节点数（一般取偶数）。函数`gaussLegendre`返回积分结果`I`。函数`gaussLegendreNodesWeights`计算Gauss-Legendre节点和系数，使用了MATLAB自带的`eig`函数求解特征值和特征向量。

令若利用newton迭代格式求解非线性方程(根号下2p分之一乘exp(-二分之t方))从x0到x的积分等于0.45的根，需要用到计算各迭代节点的积分值.（1）用Gauss-legendre三点公式计算迭代所需要的各项积分值并求出最终的根；用matlab编写程序

以下是使用 Gauss-Legendre 三点公式计算迭代所需要的各项积分值并求解最终根的 MATLAB 程序：

function [x, fx] = newton_integration(p, t, x0, tol)
% p：一个常数
% t：时间范围
% x0：迭代起点
% tol：相邻两次迭代值的差的绝对值小于该值时，迭代结束

% 定义积分函数
f = @(x) sqrt(2*p)/2*exp(-t/2*x^2);

% 定义三点公式的系数和节点
c = [5/9, 8/9, 5/9];
x = [-sqrt(3/5), 0, sqrt(3/5)];

% 初始化迭代值
x_k = x0;
x_k1 = x0 + 1;

% 开始迭代
while abs(x_k1 - x_k) > tol
    % 计算迭代节点的积分值
    fx = 0;
    for i = 1:length(c)
        fx = fx + c(i) * f(x_k + (x(i) + 1)/2 * (x_k1 - x_k));
    end
    
    % 计算下一个迭代值
    x_k1 = x_k - fx;
    
    % 更新迭代值
    x_k = x_k1;
end

% 返回最终结果
x = x_k1;
end

使用该函数，可以求得从 `x0` 到 `x` 的积分等于 `0.45` 的根：

p = 1;
t = 1;
x0 = 0;
tol = 1e-6;
[x, fx] = newton_integration(p, t, x0, tol);
fprintf('x = %.8f\n', x);

其中 `x` 即为所求的根。