solovay-stassen素性检验

Solovay-Stassen素性检验是一种用于判断一个大整数是否为质数的算法。该算法基于欧拉准则和Jacobi符号，可以在多项式时间内完成，但其正确性依赖于推广的Riemann猜想。

该算法的基本思路是，对于待检测的大整数n，首先随机选择一个小于n的整数a，然后计算a的欧拉函数值φ(n)，并计算a的Jacobi符号，最后根据欧拉准则判断n是否为质数。如果n不是质数，那么根据欧拉准则，至少有一半的a会使得a的Jacobi符号与φ(n)的奇偶性不同。因此，重复执行该过程多次可以获得高可靠性的素性检验结果。

然而，Solovay-Stassen素性检验并不是最优秀的素性检验算法，因为它的正确性依赖于推广的Riemann猜想，而该猜想至今未被证明。因此，更加可靠的素性检验算法，如Miller-Rabin素性检验和AKS素性检验等，已经被提出。

相关问题

Solovay-Stassen素性检验 python

Solovay-Stassen素性检验是一种判断一个数是否为素数的方法，它是Miller-Rabin素性检验的一种改进方法。下面是一个用 Python 实现 Solovay-Stassen素性检验的示例代码：

import random

def legendre(a, p):
    if a == 0:
        return 0
    elif a == 1:
        return 1
    elif a % 2 == 0:
        return legendre(a//2, p) * ((-1)**(p**2 - 1)//8)
    elif a >= p:
        return legendre(a%p, p)
    else:
        if a % 4 == 3 and p % 4 == 3:
            return -legendre(p, a)
        else:
            return legendre(p, a)

def solovay_stassen(n, k=10):
    if n == 2 or n == 3:
        return True
    if n <= 1 or n % 2 == 0:
        return False
    for i in range(k):
        a = random.randint(2, n-1)
        x = legendre(a, n)
        y = pow(a, (n-1)//2, n)
        if x == 0 or y != x % n:
            return False
    return True

其中，`legendre(a, p)` 函数是求勒让德符号的函数，`solovay_stassen(n, k)` 函数是 Solovay-Stassen素性检验的实现函数，其中 `n` 是待判断的数，`k` 是重复检验的次数。如果返回 `True`，则说明 `n` 可能是素数；如果返回 `False`，则说明 `n` 不是素数。

注意：由于 Solovay-Stassen素性检验是一种概率算法，因此在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的重复检验次数 `k`，以保证正确性。

编程实现Solovay-Stassen素性检验算法

下面是 Solovay-Stassen 素性检验算法的 C 语言实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <math.h>

// 计算 a 的 b 次方对 c 取余的结果
int mod_pow(int a, int b, int c) {
    int res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) {
            res = (res * a) % c;
        }
        a = (a * a) % c;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

// 计算 Jacobi 符号
int jacobi(int a, int n) {
    int t = 1;
    while (a != 0) {
        while (a % 2 == 0) {
            a /= 2;
            int r = n % 8;
            if (r == 3 || r == 5) {
                t = -t;
            }
        }
        int tmp = a;
        a = n;
        n = tmp;
        if (a % 4 == 3 && n % 4 == 3) {
            t = -t;
        }
        a %= n;
    }
    if (n == 1) {
        return t;
    }
    return 0;
}

// Solovay-Stassen 素性检验算法
int solovay_stassen(int n, int k) {
    if (n == 2 || n == 3) {
        return 1;
    }
    if (n == 1 || n % 2 == 0) {
        return 0;
    }
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        int a = rand() % (n - 2) + 2;
        int x = mod_pow(a, (n - 1) / 2, n);
        if (x == 0 || x == 1) {
            continue;
        }
        int j = jacobi(a, n);
        if (x != j % n) {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

int main() {
    int n, k;
    printf("请输入一个正整数：");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入测试次数：");
    scanf("%d", &k);
    if (solovay_stassen(n, k)) {
        printf("%d 可能是素数\n", n);
    } else {
        printf("%d 不是素数\n", n);
    }
    return 0;
}

其中，`mod_pow` 函数和 `jacobi` 函数与 Fermat 素性检测算法中的实现相同。`solovay_stassen` 函数是 Solovay-Stassen 素性检验算法的实现。在 `main` 函数中，首先输入待测试的正整数 `n` 和测试次数 `k`，然后调用 `solovay_stassen` 函数进行素性检验，并输出检验结果。