证明相似的实正规矩阵必定正规相似

设 $A$ 和 $B$ 是相似的实正规矩阵，即存在一个非奇异矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。我们需要证明 $A$ 和 $B$ 正规相似。

首先，由于 $A$ 是实正规矩阵，所以它是实对称矩阵或者实正交矩阵。如果 $A$ 是实对称矩阵，那么它可以被对角化，即存在一个正交矩阵 $Q$ 和一个对角矩阵 $D$ 使得 $A = Q^{-1}DQ$。因为 $P$ 是非奇异矩阵，所以 $P^{-1} = P^T$，所以

$$
B = P^{-1}AP = P^TAP = P^TQ^{-1}DQP.
$$

令 $R = QP$，那么 $R$ 是一个非奇异矩阵，因为 $P$ 和 $Q$ 都是非奇异矩阵。于是我们有

$$
B = R^{-1}DR,
$$

这说明 $B$ 也可以被对角化。因此，如果 $A$ 是实对称矩阵，那么 $A$ 和 $B$ 正规相似。

接下来考虑 $A$ 是实正交矩阵的情况。因为 $A$ 是实正交矩阵，所以 $A^T A = AA^T = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。同时，因为 $A$ 是实正规矩阵，所以 $A$ 的特征值都是实数。设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$x$ 是对应的特征向量，即 $Ax = \lambda x$。那么有

$$
\lambda^2 x^T x = \lambda x^T Ax = x^T A^T Ax = x^T AA^T x = x^T x,
$$

因为 $A^T A = I$。这说明 $\lambda^2 = 1$，所以 $\lambda = \pm 1$。因此 $A$ 的特征值只能是 $\pm 1$。又由于 $A$ 是实正交矩阵，所以它的特征向量可以正交化得到一个标准正交基。也就是说，存在一个非奇异矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ$ 是一个对角矩阵，且对角线上的元素只可能是 $\pm 1$。

现在我们来考虑 $B$。我们有

$$
B^T B = (P^{-1}AP)^T P^{-1}AP = P^TA^TPP^{-1}AP = P^TAA^TP.
$$

因为 $A$ 是实正交矩阵，所以 $A^T = A^{-1}$，于是

$$
B^T B = P^TAA^TP = P^TAA^{-1}P = P^TIPP^{-1} = I.
$$

因此 $B$ 是实正交矩阵。同时，因为 $A$ 和 $B$ 是相似的，所以它们有相同的特征值。又因为 $A$ 的特征值只可能是 $\pm 1$，所以 $B$ 的特征值也只可能是 $\pm 1$。因此存在一个非奇异矩阵 $R$ 使得 $R^{-1}BR$ 是一个对角矩阵，且对角线上的元素只可能是 $\pm 1$。

现在令 $S = PQ^{-1}R$，那么 $S$ 是一个非奇异矩阵，因为 $P$、$Q$ 和 $R$ 都是非奇异矩阵。我们有

$$
B = P^{-1}AP = P^{-1}Q(Q^{-1}R)^{-1}RQ^{-1}P = (P^{-1}QS)^{-1}AS(P^{-1}QS).
$$

因此 $A$ 和 $B$ 正规相似，证毕。