1/(1-√1-x²)的不定积分
时间: 2023-12-04 17:06:14 浏览: 59
根据三角函数的基本关系sin²x+cos²x=1,令x=sinθ,则√1-x²=cosθ,dx=cosθdθ,原式变为∫dθ/(1-cosθ),再根据引用的方法,将分母中的cosθ用tan(θ/2)表示,即cosθ=1-tan²(θ/2)/(1+tan²(θ/2)),则原式变为∫dθ/(2tan²(θ/2)),再根据引用的方法,将tan²(θ/2)表示为(secθ-1)/(secθ+1),则原式变为∫dθ/(2(secθ-1)),再令u=secθ-1,则du/dθ=secθtanθ,原式变为∫du/u,即ln|u|+C=ln|secθ-1|+C,代回x得ln|1-√1-x²|+C。因此,1/(1-√1-x²)的不定积分为ln|1-√1-x²|+C。
相关问题
将1/(1-x-x²)展开为x³的幂级函数
首先,我们可以使用部分分式分解将1/(1-x-x²)分解为以下形式:
1/(1-x-x²) = A/(x+φ) + B/(x+Φ) + C/(1-Φx)
其中,φ 和 Φ 是第一和第二个黄金分割比例,它们是关于x²-x-1=0的两个实根,其值分别为:
φ = (1-√5)/2 ≈ -0.618
Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618
然后,我们可以对每个分式进行展开,得到以下形式:
1/(1-x-x²) = A/(x+φ) + B/(x+Φ) + C/(1-Φx)
= A(x+Φ)/(1-Φ²x²) + B(x+φ)/(1-φ²x²) + C(φx+Φ)/(1-Φx)
接下来,我们可以使用幂级数公式将每个分式展开为幂级数,得到以下形式:
1/(1-x-x²) = A(x+Φ)/(1-Φ²x²) + B(x+φ)/(1-φ²x²) + C(φx+Φ)/(1-Φx)
= A(x+Φ)∑(n≥0)(Φ²x²)ⁿ + B(x+φ)∑(n≥0)(φ²x²)ⁿ + C(φx+Φ)∑(n≥0)(Φx)ⁿ
然后,我们可以将每一项中的x³提取出来,得到以下形式:
1/(1-x-x²) = AΦ²x³∑(n≥0)(Φ²x²)ⁿ + Bφ²x³∑(n≥0)(φ²x²)ⁿ + CΦ(φx)³∑(n≥0)(Φx)ⁿ
最后,我们可以将每个幂级数中的项数限制为3以上,得到最终的展开式:
1/(1-x-x²) = AΦ²x³(1+Φ²x²+Φ⁴x⁴+...) + Bφ²x³(1+φ²x²+φ⁴x⁴+...) + CΦ(φx)³(1+Φx+Φ²x²+...)
因此,将1/(1-x-x²)展开为x³的幂级函数的结果为:
1/(1-x-x²) = AΦ²x³+ Bφ²x³+ CΦ(φx)³
计算√x-x²的不定积分
好的,让我来帮您解决这个问题。我们可以将√x-x²表示为(x-1/2)²-1/4,然后进行变量替换,令u=x-1/2,则du=dx,原式变为∫√-(1/4) du,即∫-(1/2)√u du。对这个式子进行积分后,得到答案为-(1/2)u√u+(1/4)ln|u|+C,将u=x-1/2代入,即可得到原式的不定积分。希望我的回答能对您有所帮助!