计算√x-x²的不定积分
时间: 2023-06-09 21:05:16 浏览: 125
好的,让我来帮您解决这个问题。我们可以将√x-x²表示为(x-1/2)²-1/4,然后进行变量替换,令u=x-1/2,则du=dx,原式变为∫√-(1/4) du,即∫-(1/2)√u du。对这个式子进行积分后,得到答案为-(1/2)u√u+(1/4)ln|u|+C,将u=x-1/2代入,即可得到原式的不定积分。希望我的回答能对您有所帮助!
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1/(1-√1-x²)的不定积分
根据三角函数的基本关系sin²x+cos²x=1,令x=sinθ,则√1-x²=cosθ,dx=cosθdθ,原式变为∫dθ/(1-cosθ),再根据引用的方法,将分母中的cosθ用tan(θ/2)表示,即cosθ=1-tan²(θ/2)/(1+tan²(θ/2)),则原式变为∫dθ/(2tan²(θ/2)),再根据引用的方法,将tan²(θ/2)表示为(secθ-1)/(secθ+1),则原式变为∫dθ/(2(secθ-1)),再令u=secθ-1,则du/dθ=secθtanθ,原式变为∫du/u,即ln|u|+C=ln|secθ-1|+C,代回x得ln|1-√1-x²|+C。因此,1/(1-√1-x²)的不定积分为ln|1-√1-x²|+C。
计算根号下x-x²的积分
好的,让我给你解答一下。具体步骤如下:
首先,我们可以将根号下x-x²表示成x的函数形式,即:
根号下x-x² = 根号下(1/4 - (x-1/2)²)
然后,我们进行换元,假设 u = x - 1/2,那么当 x = u + 1/2 时,则原积分可化为:
∫根号下x-x² dx = ∫根号下(1/4 - u²) du
接下来,我们可以使用反三角函数公式进行代换,设 u = 1/2 sinθ,则有 du = 1/2 cosθ dθ,同时注意到当 x = 0 时,u = -1/2,当 x = 1 时,u = 1/2,因此积分上下限变为 -π/2 和 π/2,得到:
∫根号下x-x² dx = ∫根号下(1/4 - u²) du
= ∫√(1/4 - (1/2 sinθ)²) (1/2 cosθ) dθ
= 1/2 ∫cos²θ dθ
最后,我们可以使用常用积分公式 ∫cos²θ dθ = (θ + sinθcosθ)/2,得到原积分的答案为:
∫根号下x-x² dx = 1/2 ∫cos²θ dθ = (θ + sinθcosθ)/4 + c
其中,θ 的取值范围为 [-π/2, π/2],而 c 为积分常数。
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