lp问题基本可行解和基矩阵

LP问题是线性规划问题。基本可行解就是LP问题对应的约束条件构成一个n维空间中的多面体，在该多面体中，存在一些点，满足约束条件，这些点就是可行解。如果将这些可行解连成一条线或是一条曲线，则该线或曲线上的点都是基本可行解。基本可行解是最基本的可行解，任何一个可行解都可以由基本可行解线性组合而成。

而基矩阵是指在LP问题中，对于一个基本可行解，将该可行解代入系数矩阵的非基部分，可以得到一个n-r行n的矩阵B，该矩阵就是基矩阵。其中，r为基本可行解的个数。

基矩阵在LP问题中扮演着非常重要的角色。对于基矩阵B，它的逆矩阵B-1可以直接用来求解对应的基本可行解。此外，在LP问题中，基矩阵的行列式值如果为正数，则可行解唯一，并且此时约束条件形成的多面体是一个凸多面体。反之，如果行列式值为负数，则可行解不存在。因此，基矩阵的行列式值可以用来判断LP问题是否有可行解。

总之，基本可行解和基矩阵是LP问题中非常重要的概念，对于求解LP问题、判断LP问题是否有可行解，都有着至关重要的作用。

相关问题

如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，则其对偶规划必有唯一最优解。

这个结论是正确的。具体来说，如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，那么根据互补松弛条件，对偶 LP 的最优解必须满足下列两个条件：

1. 对于任意的基可行解 $x$ 和对应的基 $B$，都有 $c^T x \leq z^T b$，其中 $z$ 是对偶 LP 的最优解。

2. 对于任意的最优解 $z$，都存在某个基 $B$，使得 $c^T x = z^T b$ 对于所有基可行解 $x$ 都成立。

由于标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，所以对偶 LP 的最优解 $z$ 存在。另一方面，由于非退化的最优基可行解存在，所以存在某个基 $B$ 使得 $c^T x = z^T b$ 对于所有基可行解 $x$ 都成立。因此，根据第二个条件，对偶 LP 的最优解必须唯一。

证明：如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一 最优解

首先，非退化的最优基可行解意味着所有基变量都有非零取值，且目标函数的系数矩阵在基变量组成的子矩阵中是非奇异的。因此，该最优解的基本解是唯一的。

其次，由于标准形式的 LP 的对偶规划也是一个 LP，因此它也拥有基本解。如果对偶规划存在最优解，那么该最优解必须是可行的，并且其对应的基本解也是唯一的。因此，我们只需要证明该基本解是唯一的即可证明原命题。

假设对偶规划存在两个不同的最优解，它们对应的基本解分别为 $y_1$ 和 $y_2$。由于这两个解都是最优解，它们的目标函数值相等。因此，我们有：

$$c^Tx = y_1^TA \cdot x = y_2^TA \cdot x$$

其中，$x$ 是原问题的最优解，$A$ 是约束条件的系数矩阵，$c$ 是目标函数的系数向量。

考虑两个基本解 $y_1$ 和 $y_2$ 所对应的基向量分别为 $B_1$ 和 $B_2$。由于 $y_1$ 和 $y_2$ 是最优解，它们必须满足对偶约束条件：

$$y_1^T \cdot B_1 = 1,\ y_1^T \cdot B_2 = 0$$

$$y_2^T \cdot B_1 = 0,\ y_2^T \cdot B_2 = 1$$

因此，我们有：

$$y_1^TA \cdot B_1 = c^T \cdot B_1 = y_2^TA \cdot B_1$$

$$y_1^TA \cdot B_2 = c^T \cdot B_2 = y_2^TA \cdot B_2$$

将上面两个式子相减，我们有：

$$y_1^TA \cdot (B_1 - B_2) = y_2^TA \cdot (B_1 - B_2) = 0$$

由于 $B_1 - B_2$ 是非零的基向量，而 $A$ 是非奇异的，因此必须有 $y_1^TA = y_2^TA$。因此，我们可以得出 $y_1 = y_2$，即对偶规划的最优解是唯一的。

因此，如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，则其对偶规划必有唯一最优解。