最近对问题（分治法） int ClosestPoints (S) / / S 为平面上 n 个点的坐标组成的集合 { 1.if ( n < 2 ) return ∞; 2.m = S 中各点 x 坐标的中位数; 3.构造 S1 和 S2 ,使得 S1 中点的 x 坐标小于 m, S2 中点的 x 坐标大于 m; 4.d1 = ClosestPoints (S1 ) ; d2 = ClosestPoints( S2) ; 5.d = min( d1, d2 ) ; 6 .构造 P1 和 P2 ,使得 P1 是 S1 中点的 x 坐标与 m 的距离小于 d 的点集, P2 是 S2 中点的 x 坐标与 m 的距离小于 d 的点集; 7.将 P1 和 P2 中的点按 y 坐标升序排列; 8.对 P1 中的每一个点 p ,在 P2 中查找与点 p 的 y 坐标小于 d 的点,并求出其中的最 小 距离 d′ ; 9.return min( d, d′ ) ; }

这段代码实现的是求平面上最近的两个点的距离，并返回这个距离值。算法采用的是分治法，将平面上的所有点按照x坐标的中位数分成两个子集，分别对两个子集递归地求解最近的点对距离，并将得到的距离的最小值记为d。然后，将两个子集中距离中位线距离小于d的点放入一个新的集合P，并按照y坐标排序。对于P中的每一个点p，再在P中查找与p的y坐标距离小于d的点，记录其中的最小距离d'，最终返回min(d, d')即为最近的点对距离。

由于采用了分治法，时间复杂度为O(nlogn)。这种算法比蛮力法更加高效，适用于大规模数据的求解。

相关问题

Java代码实现最近对问题（分治法） int ClosestPoints (S) / / S 为平面上 n 个点的坐标组成的集合 { 1.if ( n < 2 ) return ∞; 2.m = S 中各点 x 坐标的中位数; 3.构造 S1 和 S2 ,使得 S1 中点的 x 坐标小于 m, S2 中点的 x 坐标大于 m; 4.d1 = ClosestPoints (S1 ) ; d2 = ClosestPoints( S2) ; 5.d = min( d1, d2 ) ; 6 .构造 P1 和 P2 ,使得 P1 是 S1 中点的 x 坐标与 m 的距离小于 d 的点集, P2 是 S2 中点的 x 坐标与 m 的距离小于 d 的点集; 7.将 P1 和 P2 中的点按 y 坐标升序排列; 8.对 P1 中的每一个点 p ,在 P2 中查找与点 p 的 y 坐标小于 d 的点,并求出其中的最 小 距离 d′ ; 9.return min( d, d′ ) ; }

以下是Java代码实现最近对问题的分治算法：

public class ClosestPoints {
    class Point {
        double x, y;

        public Point(double x, double y) {
            this.x = x;
            this.y = y;
        }
    }

    // 计算两点之间的距离
    private double dist(Point p1, Point p2) {
        double dx = p1.x - p2.x;
        double dy = p1.y - p2.y;
        return Math.sqrt(dx * dx + dy * dy);
    }

    // 分治求解最近点对问题
    private double closestPointsRec(Point[] points, int start, int end) {
        if (end - start < 2) { // 如果只有一个点或没有点，则距离为无穷大
            return Double.POSITIVE_INFINITY;
        } else if (end - start == 2) { // 如果只有两个点，则直接计算距离
            return dist(points[start], points[start + 1]);
        }

        // 计算中位数
        int mid = (start + end) / 2;
        double midX = points[mid].x;

        // 分别对左右两个子集递归求解最近点对距离
        double d1 = closestPointsRec(points, start, mid);
        double d2 = closestPointsRec(points, mid, end);
        double d = Math.min(d1, d2);

        // 将距离中位数线距离小于d的点放入集合P中
        List<Point> P = new ArrayList<>();
        for (int i = start; i < end; i++) {
            if (Math.abs(points[i].x - midX) < d) {
                P.add(points[i]);
            }
        }

        // 将集合P中的点按照y坐标升序排序
        Collections.sort(P, (p1, p2) -> Double.compare(p1.y, p2.y));

        // 查找两个子集中的最近点对距离
        for (int i = 0; i < P.size(); i++) {
            for (int j = i + 1; j < P.size() && P.get(j).y - P.get(i).y < d; j++) {
                double dist = dist(P.get(i), P.get(j));
                d = Math.min(d, dist);
            }
        }

        return d;
    }

    // 对外暴露的接口
    public double closestPoints(Point[] points) {
        Arrays.sort(points, (p1, p2) -> Double.compare(p1.x, p2.x));
        return closestPointsRec(points, 0, points.length);
    }
}

其中，Point类表示平面上的点，dist方法计算两个点之间的距离，closestPointsRec方法为递归求解最近点对距离的函数，closestPoints方法为对外暴露的接口。

设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题

### 回答1：
最近对问题是指在一维空间上给定n个点，找出其中距离最近的两个点。为了解决这个问题，可以使用分治算法。

具体步骤如下：

1. 将n个点按照x坐标从小到大排序。

2. 将点集分成两个部分，分别处理左半部分和右半部分。

3. 对于左半部分和右半部分，分别递归求解最近对问题。

4. 计算左半部分和右半部分中距离最近的点对，取两者中距离最小的点对。

5. 如果最近点对跨越左右两个部分，则需要考虑跨越两个部分的点对。具体方法是，将左右两个部分中的点按照y坐标从小到大排序，然后依次计算相邻两个点之间的距离，取距离最小的点对。

6. 返回距离最近的点对。

这样，就可以用分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。

### 回答2：
最近对问题，即在一维空间中寻找n个点中距离最近的两个点，其应用广泛，例如地理位置导航、红外线测距等。分治算法是解决该问题的有效方法之一。

首先，将n个点按照位置坐标从小到大排序。接着，将整个数据集分为两个部分，分别从中心点把整个数据集分成左右两部分，分别用递归的方法解决左右两部分的最近对问题。递归的终止条件是刚好有2个点被传入。

用L表示左半部分，R表示右半部分，D表示左右交界处的最短距离。递归求解左半部分得到dL、右半部分得到dR，将二者之间的较小值设为dmin，则暴力求解出左右间隔区域内的最短距离dLR。最后，将dL、dR、dLR中的最小值即为该空间内的最短距离。

理论上，该算法的时间复杂度为O(nlogn)。在实际应用中，对于最近对问题，分治算法仍然是常用的算法，证明了方法的可行性和可靠性。

### 回答3：
一维空间上n个点的最近对问题，可以用分治算法来求解。该算法的基本思路是将问题不断划分为小规模的子问题，分别求解并合并得到最终结果。

具体实现步骤如下：

1. 首先将n个点按照坐标从小到大排序，得到一个有序点集。

2. 将有序点集分成左右两个部分，分别处理左右两个部分的最近对问题。

3. 对于左右两个部分的最近对，取距离较小的一个作为当前最近对的候选。

4. 接下来考虑横跨两个部分的最近对问题。可以将有序点集按中心点分成两个子集，分别保留左右两个子集内距离中心点不超过当前最近对距离的点，并按坐标从小到大排序。然后，在两个子集内分别每个点向后最多比较6个点（可自行修改），找到距离中心点小于当前最近对距离的最近对，取距离较小的一个作为当前最近对的候选。

5. 最后，比较候选中的最近对距离和当前最近对距离的大小，取距离较小的一个作为最终结果。

分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题，可以在O(nlogn)的时间复杂度内完成。相比于暴力枚举每对点的距离O(n^2)，使用分治算法的效率大大提高。

需要注意的是，在实际应用中，由于数据随机性等原因，分治算法可能会有误差。可以在程序中设置阈值，当子问题规模小于阈值时，改用暴力方法求解。这样可以兼顾精度和效率。