arnoldi分解具体过程
时间: 2024-03-29 20:42:07 浏览: 22
Arnoldi分解的具体过程如下:
1. 初始化:选择一个初始向量v,使得||v||=1。
2. 步骤i:对于i=1, 2, 3, ..., k,进行如下迭代:
a. 令q(i)=Aq(i-1)-β(i-1)q(i-2),其中q(0)=v,q(-1)=0。
b. 计算α(i)=q(i)·Aq(i-1)和h(i-1,i)=||q(i)||。
c. 正交化:对于j=1, 2, ..., i-1,计算h(j,i)=q(i)·q(j)和q(i)=q(i)-h(j,i)q(j)。
d. 规范化:计算h(i,i)=||q(i)||,并且将q(i)除以h(i,i)。
3. 得到上三角矩阵H和正交矩阵Q:令H=(h(i,j))和Q=(q(1), q(2), ..., q(k))。
4. 迭代终止条件:当k达到预设的最大值或者||q(k)||=0时停止迭代。
在Arnoldi分解中,矩阵A和向量v是输入数据,而上三角矩阵H和正交矩阵Q是输出结果。通过求解H的特征值,可以得到A的特征值。Arnoldi分解的主要优点是适用于大型稀疏矩阵、只需要存储一个向量序列和一个上三角矩阵、并且可以使用并行计算加速迭代过程。
相关问题
arnoldi csdn
Arnoldi是一个计算数学中的经典算法,用于计算矩阵的特征值和特征向量。其算法的核心思想是在已知的部分特征向量的空间中迭代构建一个Krylov子空间,然后在该子空间上运用QR分解求解特征值和特征向量。
该算法的最大特点就在于其可用于大规模数据计算的特征值分解,这对于科学计算和工程计算具有非常重要的意义。在现代科学和工程计算中,大量的矩阵问题需要解决,Arnoldi算法可以极大地提高计算效率,也为探索新科学现象和解决工程问题提供了新的方法和手段。
在CSND上,Arnoldi算法也被广泛地应用于计算机视觉、图像处理等领域。近年来,深度学习技术得到了广泛关注,而Arnoldi算法也被应用于神经网络的特征值分解问题中,从而提高了深度学习的效率和精度。
总的来说,Arnoldi算法是一种非常重要的计算数学算法,其在科学计算和工程计算中的应用也得到了广泛的认可。相信在未来的科技创新中,Arnoldi算法还会继续发挥其独特的优势,为人类的科学探索和工程实践推动人类社会的进步。
arnoldi算法步骤
Arnoldi算法是一种用于求解大规模稀疏矩阵的特征值和特征向量的迭代算法。它的基本思想是通过迭代构造一个Krylov子空间,然后在该空间上进行计算。下面是Arnoldi算法的步骤:
1. 首先选择一个初始向量$v_1$,并将其进行单位化,即$\Vert v_1\Vert=1$。
2. 对于$k=1,2,\cdots,m$,执行以下操作:
a. 计算$v_{k+1}=Av_k-\sum\limits_{j=1}^k h_{j,k}v_j$,其中$h_{j,k}=(v_{j},Av_k)$,$(\cdot,\cdot)$表示内积。
b. 对新向量$v_{k+1}$进行正交化,即$v_{k+1}=\operatorname{proj}_{\mathcal{K}_{k+1}}v_{k+1}$,其中$\mathcal{K}_{k+1}$表示由$\{v_1,v_2,\cdots,v_{k+1}\}$张成的Krylov子空间。
c. 计算$h_{k+1,k}=\Vert v_{k+1}\Vert$,并将$v_{k+1}$进行单位化$v_{k+1}=v_{k+1}/h_{k+1,k}$。
3. 将得到的向量$v_1,v_2,\cdots,v_m$组成一个正交矩阵$V_m=[v_1,v_2,\cdots,v_m]$,将得到的上Hessenberg矩阵$H_m=[h_{i,j}]_{m\times m}$。
4. 对矩阵$H_m$进行特征值分解,得到其特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$和特征向量$x_1,x_2,\cdots,x_m$。则$Ax_j=\lambda_jx_j$。
5. 如果所求特征值和特征向量的个数为$\ell$,则取$H_m$的前$\ell$列组成一个$\ell\times m$的矩阵$H_{m,\ell}$,取$V_m$的前$\ell$列组成一个$n\times\ell$的矩阵$V_{n,\ell}$,对矩阵$H_{m,\ell}$进行特征值分解,得到其特征值$\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_\ell$和特征向量$y_1,y_2,\cdots,y_\ell$。则$Ay_j=\mu_jy_j$。
6. 返回所求的特征值$\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_\ell$和特征向量$y_1,y_2,\cdots,y_\ell$。
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