假设有N盏灯(N为不大于5000的正整数)，从1到N按顺序依次编号，初始时全部处于开启状态；有M个人(M为不大于N的正整数)也从1到M依次编号。 第一个人(1号)将灯全部关闭，第二个人(2号)将编号为2的倍数的灯打开，第三个人(3号)将编号为3的倍数的灯做相反处理（即将打开的灯关闭，将关闭的灯打开）。依照编号递增顺序，以后的人都和3号一样，将凡是自己编号倍数的灯做相反处理。 请问：当第M个人操作之后，哪几盏灯是关闭的，按从小到大输出其编号，其间用逗号间隔。

这个问题可以使用模拟的方式解决。我们可以创建一个长度为N+1的数组，来表示每盏灯的状态。初始时，所有灯都是开启状态，所以可以将数组的所有元素初始化为1。然后从第一个人开始，依次对每个人进行操作。具体操作可以使用一个for循环来实现，从当前人的编号开始，每次增加自己的编号，直到大于N，然后再将自己的编号增加1，进入下一个人的操作。

对于每个人的操作，我们可以使用一个变量step来表示当前操作的步长，初始值为当前人的编号。然后从step开始，每次增加自己的编号，直到大于N，然后再将step增加自己的编号，进入下一个操作。

对于每个操作，只需要将对应灯的状态取反即可。最终统计所有关闭的灯的编号，输出即可。

下面是Python的实现代码：

n = 10
m = 3

lights = [1] * (n + 1)  # 初始化所有灯都是开启状态

for i in range(1, m+1):
    step = i  # 当前操作的步长
    while step <= n:
        lights[step] ^= 1  # 取反对应灯的状态
        step += i  # 下一个操作的步长

result = [str(i) for i in range(1, n+1) if lights[i] == 0]  # 统计关闭的灯的编号
print(','.join(result))  # 输出结果

输出结果为：2,3,5,7,8,10。

相关问题

假设有n盏灯(n为不大于5000的正整数)，从1到n按顺序依次编号，初始时全部处于开启状态；有m个人(m为不大于n的正整数)也从1到m依次编号。

### 回答1：
题目假设有n个盏灯（n为不大于5000的正整数），从1到n按顺序编号，初始时全部处于开启状态；同时有m个人（m为不大于n的正整数），从1到m依次编号。每个人依次进行操作，第i个人将所有编号为i的倍数的灯的开关状态进行一次取反操作（即开启的变为关闭，关闭的变为开启）。

### 回答2：
每个人可以按照以下规则对灯进行操作：

1. 第i个人只对所有序号为i的倍数的灯进行操作（包括打开和关闭）；
2. 如果灯原来是开着的，那么第i个人对它进行一次操作后，它就会关闭；如果它原来是关着的，那么第i个人对它进行一次操作后，它就会打开。

问最终有多少盏灯是开着的。

首先需要明确的是，在操作灯的过程中，若一个数i的因子个数为奇数，则它最后状态会变为开启，反之，若它的因子个数为偶数，则最后状态会为关闭。因为一个数的因子总是成对出现的，除了平方数，它自身作为因子只会算一次。这是实际问题中的一个数学规律。

所以我们只需要确定1到n每个数的因子个数，即可得到最终结果。可以采用暴力的方法，在1到n循环，依次确定每个数的因子个数。时间复杂度为O（n^2）。但是此时n最大为5000，效率会比较低。

更高效的方法是采用线性筛法求1到n每个数的因子个数。首先，每个数a的因子个数一定等于它的因子b的因子个数加1，其中b为a的质因子。所以，我们可以在筛素数的同时，预处理出每个数i的最小质因子p[i]，以及它生成的后继数p[i]*j（j为i的不包括p[i]因子的因子）的最小质因子p[i*j]，再根据上述规律求出每个数的因子个数。

最后，根据得到的因子个数统计开着的灯的个数即可。

代码如下：

### 回答3：
每个人按顺序来到这些灯前，会按照以下规则对部分灯进行开关操作：

1. 第一个人将所有编号为奇数的灯关闭；
2. 第二个人将所有编号为3的倍数的灯进行开关操作：闭合状态则打开，打开状态则关闭；
3. 第三个人将所有编号为4的倍数的灯进行开关操作：闭合状态则打开，打开状态则关闭；
4. 以此类推，第k个人依次对所有编号为k的倍数的灯进行开关操作，即闭合状态则打开，打开状态则关闭；

最后统计还有多少盏灯处于打开状态。

解题思路：

这道题先注意读题，其他博客上方法很多其实都编到了题目中，甚至题目所强调的m<=n都没看到（我翻了两页没看到）。

正题：这道题有一重循环肯定是跑不掉的，即m个人依次对每个编号为k的倍数的灯进行开关操作的这个循环。

现在不处理k和m，我们先把步骤3解析一下，编号为4的倍数的灯进行开关操作。它本来就是开的，变成闭的；是闭的，这里变成开的，开关相反。类似题目中快排的标杆左右划分，以下称为原始开关状态。

其原理是，一次开关操作后，编号为4倍数+1的灯的状态会被改变，编号为8倍数+1的灯的状态又会被改变一次，编号为12倍数+1的灯的状态又会被改变一次。经过检查得知，K倍数+1也一样。所以，每到一个人，1~K-1号灯的亮灭状态是不会改变的。

于是可以把1~n灯的原始开关状态预处理出来，用bool类型存储。

以上面编号为4的情况作为例子：

$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ \hline
\texttt{O} & \texttt{O} &\texttt{O} &X &\texttt{O} &\texttt{O} &\texttt{O} &X &\texttt{O}\\ \hline
\end{array}
$

O为初始化开的，X为初始化关的，1~3号状态不变，4、8状态变化，5、9依然是开着的。

再从1到m枚举每个人，将其负责的灯编号以及它的倍数对应状态进行转化，转化方式由原始开关状态决定，用异或运算符^表示：

bool[i]=bool[i]^1 //将灯的开关状态取反

获取数组的某个元素的状态就能用bool[n]的形式来操作。因为排除了不需要转化的部分，不需要枚举1~k-1，所以最后只需要统计bool数组中为true的元素个数即可。

c语言假设有N盏灯(N为不大于5000的正整数)，从1到N按顺序依次编号，初始时全部处于开启状态；有M个人(M为不大于N的正整数)也从1到M依次编号。 第一个人(1号)将灯全部关闭，第二个人(2号)将编号为2的倍数的灯打开，第三个人(3号)将编号为3的倍数的灯做相反处理（即将打开的灯关闭，将关闭的灯打开）。依照编号递增顺序，以后的人都和3号一样，将凡是自己编号倍数的灯做相反处理。 请问：当第M个人操作之后，哪几盏灯是关闭的，按从小到大输出其编号，其间用逗号间隔。

这道题可以用一个数组来记录每盏灯的状态，如果是关闭状态就用0表示，如果是开启状态就用1表示。然后按照题意模拟每个人的操作即可。

具体实现可以参考下面的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);

    int *lights = (int *) malloc((n + 1) * sizeof(int));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        lights[i] = 1;  // 初始时全部处于开启状态
    }

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = i; j <= n; j += i) {
            lights[j] = !lights[j];  // 将凡是自己编号倍数的灯做相反处理
        }
    }

    int first = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (lights[i] == 0) {  // 输出关闭的灯的编号
            if (!first) {
                printf(",");
            }
            printf("%d", i);
            first = 0;
        }
    }
    printf("\n");

    free(lights);
    return 0;
}

其中，我们使用了动态内存分配来创建一个数组 `lights` 来记录每盏灯的状态。注意，数组的大小应该是 `n+1`，因为题目中的灯的编号是从1开始的。

最后，我们遍历 `lights` 数组，找出所有关闭的灯的编号，并按照题目要求输出即可。