假设有n盏灯(n为不大于5000的正整数)，从1到n按顺序依次编号，初始时全部处于开启状态；有m个人(m为不大于n的正整数)也从1到m依次编号。

### 回答1：
题目假设有n个盏灯（n为不大于5000的正整数），从1到n按顺序编号，初始时全部处于开启状态；同时有m个人（m为不大于n的正整数），从1到m依次编号。每个人依次进行操作，第i个人将所有编号为i的倍数的灯的开关状态进行一次取反操作（即开启的变为关闭，关闭的变为开启）。

### 回答2：
每个人可以按照以下规则对灯进行操作：

1. 第i个人只对所有序号为i的倍数的灯进行操作（包括打开和关闭）；
2. 如果灯原来是开着的，那么第i个人对它进行一次操作后，它就会关闭；如果它原来是关着的，那么第i个人对它进行一次操作后，它就会打开。

问最终有多少盏灯是开着的。

首先需要明确的是，在操作灯的过程中，若一个数i的因子个数为奇数，则它最后状态会变为开启，反之，若它的因子个数为偶数，则最后状态会为关闭。因为一个数的因子总是成对出现的，除了平方数，它自身作为因子只会算一次。这是实际问题中的一个数学规律。

所以我们只需要确定1到n每个数的因子个数，即可得到最终结果。可以采用暴力的方法，在1到n循环，依次确定每个数的因子个数。时间复杂度为O（n^2）。但是此时n最大为5000，效率会比较低。

更高效的方法是采用线性筛法求1到n每个数的因子个数。首先，每个数a的因子个数一定等于它的因子b的因子个数加1，其中b为a的质因子。所以，我们可以在筛素数的同时，预处理出每个数i的最小质因子p[i]，以及它生成的后继数p[i]*j（j为i的不包括p[i]因子的因子）的最小质因子p[i*j]，再根据上述规律求出每个数的因子个数。

最后，根据得到的因子个数统计开着的灯的个数即可。

代码如下：

### 回答3：
每个人按顺序来到这些灯前，会按照以下规则对部分灯进行开关操作：

1. 第一个人将所有编号为奇数的灯关闭；
2. 第二个人将所有编号为3的倍数的灯进行开关操作：闭合状态则打开，打开状态则关闭；
3. 第三个人将所有编号为4的倍数的灯进行开关操作：闭合状态则打开，打开状态则关闭；
4. 以此类推，第k个人依次对所有编号为k的倍数的灯进行开关操作，即闭合状态则打开，打开状态则关闭；

最后统计还有多少盏灯处于打开状态。

解题思路：

这道题先注意读题，其他博客上方法很多其实都编到了题目中，甚至题目所强调的m<=n都没看到（我翻了两页没看到）。

正题：这道题有一重循环肯定是跑不掉的，即m个人依次对每个编号为k的倍数的灯进行开关操作的这个循环。

现在不处理k和m，我们先把步骤3解析一下，编号为4的倍数的灯进行开关操作。它本来就是开的，变成闭的；是闭的，这里变成开的，开关相反。类似题目中快排的标杆左右划分，以下称为原始开关状态。

其原理是，一次开关操作后，编号为4倍数+1的灯的状态会被改变，编号为8倍数+1的灯的状态又会被改变一次，编号为12倍数+1的灯的状态又会被改变一次。经过检查得知，K倍数+1也一样。所以，每到一个人，1~K-1号灯的亮灭状态是不会改变的。

于是可以把1~n灯的原始开关状态预处理出来，用bool类型存储。

以上面编号为4的情况作为例子：

$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ \hline
\texttt{O} & \texttt{O} &\texttt{O} &X &\texttt{O} &\texttt{O} &\texttt{O} &X &\texttt{O}\\ \hline
\end{array}
$

O为初始化开的，X为初始化关的，1~3号状态不变，4、8状态变化，5、9依然是开着的。

再从1到m枚举每个人，将其负责的灯编号以及它的倍数对应状态进行转化，转化方式由原始开关状态决定，用异或运算符^表示：

bool[i]=bool[i]^1 //将灯的开关状态取反

获取数组的某个元素的状态就能用bool[n]的形式来操作。因为排除了不需要转化的部分，不需要枚举1~k-1，所以最后只需要统计bool数组中为true的元素个数即可。