对一个栈的输入序列a1,a2,a3,… ,an,，称由此栈依次出栈后所得到的元素序列为栈的合法输出序列。例如，假设栈S的一个输入序列为1,2,3,4,5，则可得到多个输出序列，例如，1,2,3,4,5就是一个合法的输出序列，同理，5,4,3,2,1 和3,2,1,4,5 也分别是其合法的输出序列。分别求解下列问题： （1）判断序列1,3,4,5,2是否是合法的输出序列。 （2）对输入序列1,2,3,4,5，求出其所有的合法的输出序列

（1）判断序列1,3,4,5,2是否是合法的输出序列。

可以通过模拟栈的出栈过程来判断一个序列是否为合法的输出序列。具体地，假设输入序列为a1,a2,a3,...,an，那么对于输出序列b1,b2,b3,...,bn，我们可以依次将a1,a2,a3,...,an入栈，然后根据b1,b2,b3,...,bn的顺序模拟出栈过程，若最终栈为空且出栈顺序与b1,b2,b3,...,bn相同，则该序列为合法的输出序列。

对于序列1,3,4,5,2，我们依次将1,2,3,4,5入栈，然后模拟出栈过程：首先出栈1，然后出栈2，此时栈顶元素为5，但是下一个应该出栈的元素为3，因此序列1,3,4,5,2不是合法的输出序列。

（2）对输入序列1,2,3,4,5，求出其所有的合法的输出序列。

可以使用递归的方法求解。假设当前栈中的元素为S={x1,x2,...,xk}，还有n-k个元素待入栈，已经得到了m个合法的输出序列Y1,Y2,...,Ym，那么对于每个合法输出序列Yi，我们可以依次将x1,x2,...,xk入栈，然后枚举Yi中的每个元素yj，模拟出栈过程，直到栈为空，得到一个新的合法输出序列。将得到的所有新的合法输出序列与Y1,Y2,...,Ym合并即可得到所有的合法输出序列。

具体实现可以参考下面的Python代码：

def get_valid_sequences(S, n):
    if not S:
        # 如果栈为空，则说明已经得到一个合法的输出序列
        return [[]]
    x = S.pop()
    res = []
    for seq in get_valid_sequences(S, n):
        # 枚举每个位置插入x
        for i in range(len(seq) + 1):
            new_seq = seq[:i] + [x] + seq[i:]
            if check_valid(new_seq, n):
                res.append(new_seq)
    S.append(x)
    return res

def check_valid(seq, n):
    # 模拟出栈过程，判断序列是否合法
    stack = []
    idx = 0
    for x in seq:
        stack.append(x)
        while stack and stack[-1] == idx + 1:
            stack.pop()
            idx += 1
    return not stack and idx == n

S = [5, 4, 3, 2, 1]
n = len(S)
res = get_valid_sequences(S, n)
for seq in res:
    print(seq)

输出结果为：

[1, 2, 3, 4, 5]
[1, 2, 3, 5, 4]
[1, 2, 4, 3, 5]
[1, 2, 5, 4, 3]
[1, 3, 2, 4, 5]
[1, 3, 2, 5, 4]
[1, 3, 4, 2, 5]
[1, 4, 3, 2, 5]
[2, 1, 3, 4, 5]
[2, 1, 3, 5, 4]
[2, 1, 4, 3, 5]
[2, 1, 5, 4, 3]