仅使用命题逻辑公理系统证明(¬Q → Q )→ Q

我们可以使用命题逻辑公理系统中的三个公理和两个推理规则来证明 (¬Q → Q) → Q：

公理1：A → (B → A)
公理2：(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
公理3：(¬A → ¬B) → (B → A)

推理规则1：Modus Ponens (MP)
如果 A 和 A → B 都是真的，则可以得出 B 是真的。

推理规则2：Modus Tollens (MT)
如果 A → B 和 ¬B 都是真的，则可以得出 ¬A 是真的。

证明：

1. 假设 (¬Q → Q) 为真且 Q 为假。
2. 根据公理1，我们有 Q → (¬Q → Q)。
3. 根据 Modus Ponens，从 1 和 2 可以得出 (¬Q → Q) 为假，与我们的假设矛盾。
4. 因此，我们得出 Q 为真。
5. 根据公理2，我们有 (¬Q → Q) → ((¬Q → Q) → Q)。
6. 根据 Modus Ponens，从 5 和 1 可以得出 ((¬Q → Q) → Q) 为真。
7. 因此，我们得出 (¬Q → Q) → Q 为真。

因此，我们使用命题逻辑公理系统证明了 (¬Q → Q) → Q。

相关问题

仅使用命题逻辑公理系统证明(¬Q → Q )→ Q，不能使用演绎定理

好的，我们可以使用以下命题逻辑公理和推理规则来证明(¬Q → Q) → Q：

公理1：A → (B → A)
公理2：(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
公理3：(¬A → ¬B) → (B → A)

推理规则1：Modus Ponens (MP)
如果 A 和 A → B 都是真的，则可以得出 B 是真的。

证明：

1. 假设 (¬Q → Q) 为真且 Q 为假。
2. 根据公理1，我们有 Q → (¬Q → Q)。
3. 根据 Modus Ponens，从 1 和 2 可以得出 Q 为真。
4. 因为 Q 为真，所以 (¬Q → Q) 为真。
5. 根据公理2，我们有 (¬Q → Q) → ((¬Q → Q) → Q)。
6. 根据 Modus Ponens，从 5 和 4 可以得出 ((¬Q → Q) → Q) 为真。
7. 因此，我们得出(¬Q → Q) → Q 为真。

因此，我们使用命题逻辑公理系统证明了(¬Q → Q) → Q，而未使用演绎定理。

仅使用命题逻辑公理系统证明├ (¬Q → Q )→ Q

要证明├(¬Q → Q) → Q，我们需要使用演绎定理或元语言推导规则。但是，根据您的要求，我们不能使用演绎定理，因此我们需要使用其他方法。

我们可以使用反证法来证明├(¬Q → Q) → Q：

1. 假设├(¬Q → Q) → Q 为假。
2. 根据定义，├(¬Q → Q) → Q 为假意味着 (¬Q → Q) 为真而 Q 为假。
3. 根据公理1，我们有 Q → (¬Q → Q)。
4. 根据 Modus Ponens，从 2 和 3 可以得出 Q → 假，这是不可能的。
5. 因此，我们得出├(¬Q → Q) → Q 为真。

因此，我们使用命题逻辑公理系统证明了├(¬Q → Q) → Q。