仅使用命题逻辑公理系统证明(¬Q → Q )→ Q

我们可以使用命题逻辑公理系统中的三个公理和两个推理规则来证明 (¬Q → Q) → Q：

公理1：A → (B → A)
公理2：(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
公理3：(¬A → ¬B) → (B → A)

推理规则1：Modus Ponens (MP)
如果 A 和 A → B 都是真的，则可以得出 B 是真的。

推理规则2：Modus Tollens (MT)
如果 A → B 和 ¬B 都是真的，则可以得出 ¬A 是真的。

证明：

1. 假设 (¬Q → Q) 为真且 Q 为假。
2. 根据公理1，我们有 Q → (¬Q → Q)。
3. 根据 Modus Ponens，从 1 和 2 可以得出 (¬Q → Q) 为假，与我们的假设矛盾。
4. 因此，我们得出 Q 为真。
5. 根据公理2，我们有 (¬Q → Q) → ((¬Q → Q) → Q)。
6. 根据 Modus Ponens，从 5 和 1 可以得出 ((¬Q → Q) → Q) 为真。
7. 因此，我们得出 (¬Q → Q) → Q 为真。

因此，我们使用命题逻辑公理系统证明了 (¬Q → Q) → Q。