循环赛日程表分治算循环赛日程表分治算法求其时间复杂度

循环赛日程表是指n个选手参加比赛，要求每个选手与其他选手比赛一次，且每个选手每天只能比赛一次。循环赛日程表分治算法是一种用于构造循环赛日程表的算法，该算法的时间复杂度为O(n^2)。

该算法的思路是：将n个选手分为两组，每组n/2个选手，然后按照如下规则安排比赛：

1. 第一组选手的编号为1,2,...,n/2，第二组选手的编号为n/2+1,n/2+2,...,n；
2. 对于第i轮比赛（1<=i<=n-1），第j个选手（1<=j<=n/2）和第k个选手（1<=k<=n/2）比赛，其中j和k满足如下条件：
j = k + (i-1) mod (n/2)，或者j = k + (i-1) mod (n/2) + n/2（当j>n/2时）。

通过这种方式，我们可以在O(n^2)时间内构造出循环赛日程表。

相关问题

循环赛日程表分治算法时间复杂度

### 循环赛日程表分治算法的时间复杂度分析

对于循环赛日程表问题，当采用分治法解决时，其核心在于将所有选手不断二分直至最小子问题得以直接处理。每次划分都将当前规模减半并独立构建子部分的日程安排。

#### 子问题数量与规模变化
每一轮递归调用会创建两个大小相等的新实例，即原问题尺寸的一半。因此，在树形结构中每一层都有\(2^d\)个节点(d表示层数)，而叶结点总数等于初始输入长度n(这里特指参赛者数目)[^1]。

#### 计算工作量
除了分解操作外，还需完成合并步骤以组合来自不同分支的结果形成完整的解决方案。然而在这个特定场景下，“合并”的过程相对轻量化——主要涉及简单的数组拼接或位置映射调整，并不会引入额外显著开销[^2]。

#### 总体时间消耗评估
考虑到上述特性以及递归深度达到\(\log_2{n}\)(因为持续除以2直到剩下一对竞争者为止), 整个流程可以被视作由一系列几乎相同代价的小型任务构成。这些任务各自执行常数时间内即可结束，故最终得出结论：

该方法整体呈现线性对数级别效率表现，具体来说就是 \(O(n \cdot \log n)\) 的渐近上界。这不仅反映了随着数据集增大所需资源增长趋势较为温和的事实，同时也证明了这种方法具备良好的扩展性和实际应用价值[^4]。

def divide_and_conquer_schedule(n):
    if n == 2:
        return [[1, 2], [2, 1]]
    
    half_n = n // 2
    prev_round = divide_and_conquer_schedule(half_n)

    schedule = []
    for i in range(half_n):
        row_left = list(map(lambda x: (x + half_n) % n or n, prev_round[i]))
        row_right = prev_round[i].copy()
        
        combined_row = [*row_left[:half_n], *row_right]
        mirror_combined_row = [*row_right[half_n:], *row_left]

        schedule.append(combined_row)
        schedule.append(mirror_combined_row)

    return schedule

循环赛日程表分治算法的时间复杂度和空间复杂度

循环赛日程表分治算法的时间复杂度和空间复杂度如下：

时间复杂度：
在分治算法中，每个小组的比赛次数都是相同的，因此可以用递归树来表示算法的时间复杂度。在递归树中，每一层的比赛次数都是上一层的一半，因此递归树的深度为log2(n)，其中n为参赛队伍的数量。每层的比赛次数为n/2，因此总的比赛次数为n/2 * log2(n)。因此，循环赛日程表分治算法的时间复杂度为O(nlogn)。

空间复杂度：
在循环赛日程表分治算法中，所用的数组是全局变量，所用空间不随着某个变量的改变而变化，是一个常数，因此空间复杂度为O(1)。