用二进制补码运算计算下列各式。式中的4位二进制数是不带符号位的绝对值。如果和为负数,请求出负数的绝对值。(提示:所用补码的有效位数应足够表示代数和的最大绝对值。) 0011-1010

在二进制补码运算中，减法可以通过加上被减数的补码来实现。首先，我们需要明确4位二进制数的最大绝对值是 \(2^3 - 1 = 7\)，因此我们需要至少5位二进制数来表示这个运算的结果，包括正数和负数。

首先，将被减数和减数都视为正数，进行二进制的减法运算：

  0011
- 1010
------
  1001

由于我们是在一个4位的系统中做减法，我们实际上是做的模 \(2^4\) 的运算，所以结果是 \(1001_2\)，但是这不符合我们的问题条件，因为我们的结果应该是5位的，而且我们需要考虑补码来表示负数。

由于结果是一个负数（因为 \(0011_2\) 小于 \(1010_2\)），我们需要将减数 \(1010_2\) 取补码，得到其负数形式。

减数 \(1010_2\) 的补码是通过先求反码（即各位取反），然后加1得到的：

原码（减数）：1010
反码（减数）：0101
补码（减数的负数）：0110

现在我们用被减数加上减数的补码来表示原来的减法问题：

  0011
+ 0110
------
  1001

这次我们得到了一个5位的二进制数 \(1001_2\)，表示的是被减数和减数负数形式的和。由于最高位是1，这表明结果是负数。

为了找到这个负数的绝对值，我们需要再次取补码，得到其正数形式：

原码（结果的绝对值）：1001
反码（结果的绝对值）：1110
补码（结果的绝对值）：1111

因此，\(1001_2\) 的绝对值是 \(1111_2\)，即十进制的 \(-7\)。

相关问题

二进制补码运算和的绝对值

### 计算二进制补码加法结果的绝对值

当涉及到二进制补码加法后的结果处理时，尤其是获取该结果的绝对值，需遵循特定的方法。对于任何给定的二进制补码数值，若此数为负（即最高位为1），则为了获得其绝对值，应先对该数值的所有位取反，随后加上1[^1]。

具体操作流程如下：

假设存在两个8位二进制补码形式表示的整数A和B，经过加法运算后得到的结果记作Result。此时，判断Result是否为负数的关键在于查看其最高有效位(MSB)；如果MSB为1，则表明这是一个负数的补码表达方式。针对这种情况下的绝对值计算步骤如下所示：

- 对于负数情况：对整个字节范围内的每一位执行按位取反操作；
- 接着向所得结果最低位处增加1；
- 所得最终结果便是原始负数对应的正值版本。

下面给出一段Python代码用于演示上述逻辑的应用实例:

def get_absolute_value_of_twos_complement(result):
    """Calculate the absolute value of a two's complement result."""
    
    # Check if number is negative (assuming an 8-bit integer here)
    if result & 0x80 != 0:
        inverted_bits = ~result & 0xFF  # Invert bits and mask to keep it within one byte
        abs_result = inverted_bits + 1
    else:
        abs_result = result
    
    return abs_result


# Example usage with hypothetical binary addition results
example_results = [-65, 65]

for res in example_results:
    print(f"The absolute value of {res} ({bin(res & 0xFF)}) "
          f"is {get_absolute_value_of_twos_complement(res)}")

这段程序首先定义了一个函数`get_absolute_value_of_twos_complement()`用来接收一个可能为负数的输入参数，并返回这个数作为正数的表现形式。这里假定了我们正在处理的是8位带符号整型数据类型。接着通过几个测试案例展示了如何调用此功能并打印出相应的输出信息。

4位二进制补码和8位二进制补码

### 4位和8位二进制补码的概念

在计算机科学中，为了有效地表示有符号整数并简化加法器的设计，采用了二进制补码表示法。这种编码方式允许机器使用相同的硬件电路来进行无符号数和带符号数之间的加减操作。

#### 4位二进制补码

对于4位系统而言，能够表达的数值范围是从-8到7。具体来说：

| 十进制 | 二进制补码 |
|--------|------------|
| -8 | `1000` |
| ... | ... |
| -1 | `1111` |
| 0 | `0000` |
| 1 | `0001` |
| ... | ... |
| 7 | `0111` |

当最高有效位（MSB）为1时，则该数被认为是负数；而如果MSB为0，则认为是非负数[^1]。

要获得某个正整数n对应的4位二进制补码形式，只需将其转换成普通的4位二进制即可。而对于一个负整数-n，在求其补码之前先计算它的绝对值|n|的原码，接着对该原码按位取反再加一得到最终的结果。

// C++ example to convert decimal to 4-bit two's complement
int dec_to_4bit_twos_complement(int n) {
    int result;
    if(n >= 0 && n <= 7){
        // Positive numbers directly converted into binary.
        result = n;
    }else{
        // For negative numbers, calculate absolute value,
        // invert bits and add one.
        result = (~abs(n)) + 1;
    }
    return result % 16; // Ensure it fits within 4 bits by modulo operation with base(2^4).
}

#### 8位二进制补码

同样的原理适用于更宽泛的数据宽度，比如常见的8位字节。此时可表示的范围扩大到了−128至127之间。下表展示了部分对应关系：

| 十进制 | 二进制补码 |
|--|
| -128 | `10000000` |
| ... | ... |
| -1 | `11111111` |
| 0 | `00000000` |
| 1 | `00000001` |
| ... | ... |
| 127 | `01111111` |

同样地，通过改变最左边的一位来区分正值还是负值，并遵循上述提到的方法完成从十进制向八位二进制补码的转变过程。

def dec_to_8bit_twos_complement(n):
    """Convert a given integer 'n' (-128 ≤ n ≤ 127) to its equivalent 8-bit two’s complement."""
    if not(-128 <= n <= 127): raise ValueError("Input out of range.")
    
    mask = 0xFF # Equivalent to eight ones in binary form
    
    if n < 0:
        n = ((~n)+1)&mask
        
    return format(n,'08b')[-8:] # Ensures output is always an 8-character string padded with leading zeros as necessary.

print(dec_to_8bit_twos_complement(-5))
# Output should be "11111011"