用公理系统证明((A→B)→A)→A

要证明((A→B)→A)→A，我们可以使用公理系统中的三条公理以及推理规则，进行证明：

1. 公理1：A→(B→A)
2. 公理2：(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
3. 公理3：(¬A→¬B)→(B→A)

首先，根据公理1，我们可以得到：
(A → B) → (A → (A → B))

然后，我们可以利用公理2将(A → (A → B))转化为((A → B) → A) → ((A → B) → A)，即：
(A → B) → ((A → (A → B)) → A)
(A → B) → ((A → B) → A)

接下来，我们可以使用公理3将((A → B) → A)转化为(¬(¬A∨B)∨A)，即：
(¬(¬(A→B)∨A)∨A)

因为 ¬(¬X∨Y) ≡ X∧¬Y，所以有：
((A→B)∧¬A)∨A

再根据合取范式可知：
((A→B)∨A) ∧ (¬A∨A)

而(¬A∨A)为永真式，因此简化为：
(A→B)∨A

最后，根据分离析取律可得：
(A→B)∨A
A

综上所述，我们证明了((A→B)→A)→A。

相关问题

用公理系统的公理证明((A→B)→A)→A

这是一个著名的逻辑学公式，也称为“演绎定理”，其证明过程如下：

1. 假设 (A→B)→A 成立，即前提 (A→B) 成立，则需证明 A 也成立。

2. 假设 A 不成立，则 (A→B) 的前提不成立，因此根据逻辑推理可得出整个前提 (A→B)→A 也不成立，与前提矛盾。

3. 因此，假设 A 不成立是错误的，即 A 成立。

4. 综上所述，证明了公式 ((A→B)→A)→A 的正确性。

已知传递律和定理⺊(A→B)→(﹁B→﹁A)，请用命题逻辑公理系统的知识证明﹁((Q→R)→R)⺊﹁Q。⺊表示推出。

可以使用反证法证明这个命题。

假设﹁((Q→R)→R)成立且﹁Q不成立，即Q为真。根据前提，我们可以得到(Q→R)为真或R为真。如果(Q→R)为真，那么根据假设﹁((Q→R)→R)不成立，导致R为真，这与前提矛盾。因此，我们可以得出(Q→R)为假。根据定理⺊(A→B)→(﹁B→﹁A)，我们可以得出﹁R→﹁(Q→R)，即R为假或﹁(Q→R)为真。如果R为假，那么根据前提我们可以得到(Q→R)为真，这与前提矛盾。因此，我们可以得出﹁(Q→R)为真，即(Q→R)为假。根据前提，我们可以得到R为真，这与(Q→R)为假矛盾。因此，假设﹁Q不成立不成立，即﹁Q成立，证毕。

综上所述，我们使用反证法证明了﹁((Q→R)→R)⺊﹁Q。