matlab验证傅里叶变换的性质

### 使用 MATLAB 验证傅里叶变换的性质

#### 1. 线性性质
线性性质表明如果 \( x_1(t) \leftrightarrow X_1(f) \) 和 \( x_2(t) \leftrightarrow X_2(f) \)，那么对于任意常数 \( a \) 和 \( b \)，有：

\[ ax_1(t)+bx_2(t)\leftrightarrow aX_1(f)+bX_2(f) \]

可以通过定义两个信号并应用 `fft` 函数来验证此属性。

x1 = [5, 2, 8, 8, 1, 1, 3, 2];
x2 = [8, 2, 3, 1, 5, 8, 9, 5];

a = 2;
b = 3;

linearCombinationTimeDomain = a*x1 + b*x2;
linearCombinationFreqDomain = fft(linearCombinationTimeDomain);

separateTransformsSummed = a*fft(x1) + b*fft(x2);

上述代码展示了如何通过组合时间域中的信号以及单独转换后再相加来进行比较，以此证明线性的有效性[^4]。

#### 2. 卷积定理
卷积定理指出时域内的乘法对应于频域内两者的卷积。具体来说，

\[ (x_1 * x_2)(t) \leftrightarrow X_1(f)X_2(f) \]

这里展示了一个简单的例子，在其中创建了两个序列，并对其执行 FFT 变换来观察它们之间的关系。

convolutionResultInTimeDomain = conv(x1,x2,'same');
productOfFFTs = fft(x1).*fft(x2)/length(x1); % 归一化因子取决于具体情况

% 对 productOfFFTs 执行 IFFT 来获得原始的时间域表示形式
recoveredConvolutionFromFrequencyDomain = real(ifft(productOfFFTs));

这段脚本说明了即使在不同的领域操作数据也可以得出一致的结果。

#### 3. 尺度变化（伸缩）
当输入信号被拉伸或压缩时，相应的频率成分会相应地收缩或扩展。即:

\[ x(at) \leftrightarrow |a|^{-1}X\left(\frac{f}{a}\right) \]

为了测试这一点，可以选择一个已知函数作为基底，改变参数 'a' 的值查看效果。

originalSignal = @(t) exp(-pi*t.^2); % Gaussian pulse as an example
scaledFunction = @(t,a) originalSignal(t/a)./abs(a);

timeVector = linspace(-2*pi,2*pi,1000);
scaleFactor = 2;

figure();
subplot(2,1,1);
plot(timeVector,scaledFunction(timeVector,scaleFactor),'r', ...
     timeVector,originalSignal(timeVector)); legend('Scaled','Original');

freqResponseOrig = abs(fftshift(fft(originalSignal(linspace(-2*pi,2*pi,length(timeVector))))));
freqResponseScaled = abs(fftshift(fft(scaledFunction(linspace(-2*pi,2*pi,length(timeVector)), scaleFactor))));

subplot(2,1,2);
plot(freqResponseOrig./max(freqResponseOrig),'b',...
    freqResponseScaled./max(freqResponseScaled),'g');legend('Original Frequency Response','Scaled Frequency Response')

该部分利用高斯脉冲进行了尺度变换实验，同时绘制了原信号及其经过尺度变换后的图形对比[^1]。

#### 4. 移位/平移特性
移动时间轴上的位置不会影响幅度谱；它只会引入相位偏转。因此,

\[ x(t-t_0) \leftrightarrow e^{-j2πft_0}X(f) \]

下面是一个简单的方法来检验这个规则是否成立。

delayedSignal = circshift([x1 zeros(size(x1))], length(x1)-1);
phaseShiftedByDelay = angle(fft(delayedSignal)).*(linspace(0,1-1/length(x1),length(x1)));

这显示了延迟版本的信号与其未修改前相比仅存在相角差异而无振幅变化的情况[^3]。