数据结构对称矩阵公式推导

对称矩阵是指矩阵中的元素关于主对角线对称，即 $a_{ij}=a_{ji}$。对称矩阵的公式推导与上三角矩阵类似，只需要将 $i \leq j$ 改为 $i=j$ 即可。设矩阵 $A$ 为 $n \times n$ 的对称矩阵，则 $A$ 的元素可以表示为 $a_{ij}=a_{ji}$，其中 $1 \leq i,j \leq n$。因此，对称矩阵 $A$ 可以表示为：

$$
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
$$

其中，$a_{ij}$ 表示矩阵 $A$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。因为 $A$ 是对称矩阵，所以 $a_{ij}=a_{ji}$。因此，我们只需要计算矩阵 $A$ 的上三角部分（$i \leq j$）即可。

相关问题

数据结构对称矩阵代码

对称矩阵是一种特殊的方阵，其主对角线上方的元素与主对角线下方的元素相互对称。以下是一个使用 Python 编程语言的示例代码，展示了如何判断一个矩阵是否为对称矩阵：

def is_symmetric(matrix):
    rows = len(matrix)
    cols = len(matrix[0])  # 假设所有行具有相同的列数

    # 检查行数和列数是否相等
    if rows != cols:
        return False

    # 检查对称性
    for i in range(rows):
        for j in range(i+1, cols):
            if matrix[i][j] != matrix[j][i]:
                return False

    return True

在上述代码中，`is_symmetric()` 函数接受一个二维数组 `matrix` 作为输入，并返回一个布尔值来指示该矩阵是否为对称矩阵。

该函数首先检查矩阵的行数和列数是否相等，因为对称矩阵必须是方阵。

然后，使用嵌套的循环遍历矩阵的上三角部分（不包括主对角线）。对于每个元素 `(i, j)`，它与对应的下三角元素 `(j, i)` 进行比较。如果它们不相等，那么矩阵不是对称的。

如果所有的比较都相等，那么矩阵是对称的，函数返回 `True`。

请注意，上述代码假设输入的矩阵是一个二维数组，其中每一行具有相同的列数。如果您在使用其他编程语言，例如C++、Java或JavaScript等，请告诉我，我可以提供相应语言的示例代码。

数据结构中心对称判定代码

中心对称判定是指判断一个二叉树是否以其根节点为中心对称的性质。下面是一个示例代码，用于判断一个二叉树是否具有中心对称性：

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def isSymmetric(root):
    if not root:
        return True
    return checkSymmetry(root.left, root.right)

def checkSymmetry(left, right):
    if not left and not right:
        return True
    if not left or not right or left.val != right.val:
        return False
    return checkSymmetry(left.left, right.right) and checkSymmetry(left.right, right.left)

在这个代码中，我们定义了一个`TreeNode`类来表示二叉树的节点。`isSymmetric`函数用于判断整个二叉树是否具有中心对称性，它调用了`checkSymmetry`函数来递归地检查左右子树的对称性。

`checkSymmetry`函数用于检查两个节点是否对称。如果两个节点都为空，则认为它们是对称的；如果其中一个节点为空或者两个节点的值不相等，则认为它们不对称；否则，递归地检查左子树的左节点和右子树的右节点，以及左子树的右节点和右子树的左节点是否对称。