𝑿′𝑿满秩(即:𝑿′𝑿可逆,𝑿′𝑿非奇异,即解释变量X不存在完全共 线性)这句话中满秩,可逆,非奇异,完全共线性分别是什么意思
时间: 2023-08-18 13:58:56 浏览: 72
在统计学和线性代数中,我们可以使用矩阵来表示一组变量之间的线性关系。假设我们有一个矩阵X,它包含了一组解释变量(或自变量)的取值。那么,𝑿′𝑿表示X的转置矩阵乘以X本身。
现在,让我们来解释每个术语的意思:
1. 满秩(Full Rank):满秩表示矩阵X的列向量(或行向量)之间是线性独立的,也就是说不存在一组非零系数使得它们的线性组合等于零向量。如果矩阵X是满秩的,那么它的秩等于它的列数(或行数),即rank(X) = min(列数, 行数)。
2. 可逆(Invertible):可逆表示矩阵X存在一个逆矩阵X^-1,使得X乘以X^-1等于单位矩阵I。如果矩阵X是可逆的,那么它的行数和列数必须相等,并且它的秩等于它的行数(或列数)。
3. 非奇异(Non-singular):非奇异是可逆的同义词,表示矩阵X没有零特征值,也就是说X的行列式不等于零。如果矩阵X是非奇异的,那么它的行数和列数必须相等,并且它的秩等于它的行数(或列数)。
4. 完全共线性(Perfect Collinearity):完全共线性表示矩阵X的列向量之间存在线性关系,也就是说存在一组非零系数使得它们的线性组合等于零向量。如果矩阵X存在完全共线性,那么它的秩将小于它的列数(或行数)。
所以,𝑿′𝑿满秩表示矩阵X的转置矩阵乘以X本身是满秩的,即X的列向量之间线性独立;可逆和非奇异表示矩阵X存在逆矩阵,没有零特征值;完全共线性表示矩阵X的列向量之间存在线性关系。
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