三次样条插值以二阶导数为边界条件手动构建matlab代码并给出实验示例

三次样条插值是一种常用的光滑曲线拟合技术，它通过连接各个数据点，并要求曲线上任意一点的二阶导数等于该点附近的邻近数据点之间的二阶差分，来逼近数据。以下是手动在MATLAB中实现这个过程的一个简单例子：

function s = cubic_spline(x, y)
% x 是数据点的x坐标数组
% y 是对应的数据点的y坐标数组

% 确保输入数据是对齐的
if length(x) ~= length(y)
    error('x and y arrays must have the same length');
end

n = length(x); % 数据点的数量

% 计算一阶导数和二阶导数的初始值 (使用中央差分法)
dy = diff(y);
dx = diff(x);
dy(1) = dy(2);  % 初始斜率设为第一个相邻点的斜率
s.gradient = dx./diff(x.^2);

% 初始化三次样条函数 s(t)，这里使用累积积分为基础
s.cubic = [0; cumsum(dy ./ (6*x.^2 - 12*x(2:end).*x(1:(end-1)) + 6*x(1:end).^2))];
s.x = x;

% 保证边界条件，即二阶导数等于零（即直线段）
s.cubic(1) = y(1);
s.gradient(1) = 0;
s.cubic(n) = y(end);
s.gradient(n) = 0;
end

% 示例实验
[x, y] = chebfun(@(t) t.^2, [-1, 1]); % 创建一个简单的二次函数作为测试数据
s = cubic_spline(x, y);
plot(x, y, 'o', s.x, s.cubic, '-')
xlabel('t')
ylabel('f(t)')
title('三次样条插值')

在这个例子中，我们首先计算了数据点的一阶导数和二阶导数，然后使用这些信息来构造三次样条插值的系数。最后，我们在图上显示原始数据点和插值结果。