如何在MATLAB中计算当n趋向于无穷大时，序列(1 + 1/2 + 1/3 + 1/n-lnn)的极限？

在MATLAB中，你可以使用`limit`函数来计算序列的极限。对于给定序列 \( \frac{1}{n} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} - \ln(n) \)，其前半部分是一个无穷等比数列的求和，后半部分是\( n \)次方的泰勒展开式的一部分（即自然对数的近似）。该序列可以简化为：

\[
\lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln(n)\right)
\]

无穷等比数列的部分会趋于无穷，而自然对数的增长速度较快，所以随着 \( n \) 趋于无穷大，减去的部分将变得微不足道。因此，整个序列的极限接近于无穷等比数列的和：

\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}
\]

这个著名的级数被称为调和级数，它的和是发散的，意味着它并没有固定的有限值。所以在MATLAB中，表达式的极限形式为 `Inf`。

不过，在实际操作中，由于计算机处理的是浮点数，你可能会得到一个非常大的数值而不是`Inf`，表示这个值已经超出MATLAB浮点数范围的上限。

% 使用 limit 函数计算极限
limit_sum = limit(sum(1./[1:n]) - log(n), n, Inf);

相关问题

帮我找资料证明n趋于无穷时，1+1/2+1/3+1/4+……+1/n＝lnn+γ

这个结论叫做调和级数的渐近展开式，其中γ≈0.5772156649是欧拉常数。

证明可以分为两步：

1. 首先，我们可以将和式转化为一个积分。具体来说，我们可以构造一个函数f(x)=1/x，然后对它在[1,n]上进行积分，得到

∫₁ⁿ(1/x)dx = ln(n)+C

其中C是一个常数。我们要求的就是C的值。

2. 为了确定C的值，我们可以利用极限的性质。具体来说，我们可以将和式拆分为两部分，一部分是1+1/2+1/3+1/4+…+1/n，另一部分是ln(n)+γ。我们知道，当n趋于无穷时，第一部分趋于无穷大，第二部分趋于无穷大，但是它们的比值趋于1。因此，我们可以用第二部分的极限值减去第一部分的极限值，得到C的值：

C = lim(n→∞)[ln(n)+γ-(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)]

这个极限值可以用数值积分或者其他方法计算出来，得到C≈0.5772156649。

综上所述，我们得到了调和级数的渐近展开式：

1+1/2+1/3+1/4+…+1/n ≈ ln(n)+γ。

判断级数 ∑ � = 1 ∞ ln ⁡ � � 4 / 3 ∑ n=1 ∞ ​ n 4/3 lnn ​ 的敛散性

我们可以使用 Cauchy 科尔曼判别法来判断该级数的敛散性。

设 a_n = ln(n)/n^(4/3)，则有：

a_n+1 / a_n = ln(n+1)/(n+1)^(4/3) * n^(4/3) / ln(n)

由于：

lim(n→∞) ln(n+1) / ln(n) = 1

lim(n→∞) (n+1)^(4/3) / n^(4/3) = 1

所以：

lim(n→∞) a_n+1 / a_n = 1

因此，根据 Cauchy 科尔曼判别法，该级数与以下级数同敛散：

∑ n=1 ∞ 1/n

由于调和级数发散，所以原级数也发散。即：

∑ � = 1 ∞ ln ⁡ � � 4 / 3 ∑ n=1 ∞ ​ n 4/3 lnn

发散。