catalan数列c++

Catalan数列是一个经典的数学序列，通常表示为C_n，其特点是满足递推关系C_n = (2n choose n) - C_(n-1)，同时C_0 = C_1 = 1。这个数列在许多数学领域都有应用，比如组合学、图论和动态规划等。

在C++中，计算Catalan数可以使用递归或者迭代的方式。由于递归可能会导致栈溢出对于较大的n值，所以迭代方法更为常用。以下是一个简单的迭代算法示例：

#include <iostream>
using namespace std;

int catalan(int n) {
    if (n <= 1)
        return 1;
    int C[n+1];
    memset(C, 0, sizeof(C));
    C[0] = 1;
    C[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j)
            C[i] += C[j] * C[i-j-1]; // 根据Catalan数的递推公式计算
    }
    return C[n];
}

int main() {
    for (int i = 0; i <= 5; ++i)
        cout << "C(" << i << ") = " << catalan(i) << endl;
    

相关问题

catalan数列c++火车出栈

Catalan数列是一个著名的数学序列，在计算机科学中常用于动态规划和算法设计，尤其是在解决树形结构的问题上。Catalan数列的第n项可以表示为C(n) = (2n)! / [(n+1)! * n!]。

在C++中，火车出栈问题通常是模拟二叉树的构建过程，比如完全二叉树的前序遍历，其中每个节点代表一棵子树。火车出栈的过程可以理解为从根节点开始，对于每一个子节点，先访问左子树（出栈），再访问右子树（入栈）。这就涉及到递归操作，并利用了Catalan数列的性质。

以下是一个简单的C++函数，用Catalan数列来模拟火车出栈：

#include <vector>
using namespace std;

int catalan(int n) {
    vector<int> C(n + 1);
    C[0] = C[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            C[i] += C[j] * C[i - j - 1];
        }
    }
    return C[n];
}

// 示例火车出栈函数
void trainStack(vector<vector<int>>& trains, int startNode) {
    if (trains[startNode].empty()) return;
    cout << "At node " << startNode << ": ";
    for (int i : trains[startNode]) {
        trainStack(trains, i); // 先出栈
        cout << "(" << i << ") ";
        trainStack(trains, i + 1); // 再入栈
    }
}

int main() {
    int n = 4; // 指定火车出栈的树的深度
    vector<vector<int>> trains(n, vector<int>(2*n)); // 初始化火车列表
    // ...填充火车列表...
    trainStack(trains, 0); // 从根节点开始出栈
    return 0;
}

在这个例子中，`trainStack`函数就是模拟火车出栈的过程，它会递归地对每棵树进行操作，直到所有火车都出栈完毕。

catalan数列c++求10边形

Catalan数列是一个著名的数学序列，在计算机科学中有多种应用，尤其是在动态规划问题中。其中一种常见的用途是计算给定边数n的简单凸n边形内部或外部的点的数量，通常称为康托尔数（Catalan number for n-gons）。Catalan数列的通项公式可以用递归或生成函数来表示。

对于一个简单的凸n边形（n >= 3），Catalan数C_n可以通过下面的递归公式得到：
\[ C_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k {n \choose k} (n-k) C_k \]

对于n=10，可以直接计算这个值，但由于数值较大，为了避免整数溢出，我们可以使用迭代的方式来避免直接计算大数字。以下是C++代码片段，用于计算Catalan数：

#include <iostream>
using namespace std;

unsigned long long catalan(int n) {
    static unsigned long long catalans[] = {1, 1};
    if (n > 2) {
        unsigned long long total = 0;
        for (int k = 0; k <= n - 1; ++k) {
            total += (-1) * catalans[k] * (n - k) * catalans[n - 1 - k];
        }
        return total / n;
    } else {
        return catalans[n];
    }
}

int main() {
    int n = 10;
    cout << "Catalan number for a 10-sided polygon is: " << catalan(n) << endl;