齐次线性方程组的基础解系怎么求
时间: 2023-12-03 19:45:09 浏览: 36
对于齐次线性方程组 Ax = 0,其中 A 是一个 m×n 的矩阵,x 是一个 n 维列向量,我们可以通过以下步骤求出它的基础解系:
1. 将增广矩阵 [A|0] 进行初等行变换,化为行阶梯形矩阵 R,求出 R 的秩 r。
2. 对于 R 的每一列,若该列不是主元列,则可以选择一个自由变量,令其等于 t(t 为任意实数),其余变量均为主元变量。
3. 对于有 r 个主元变量的情况,我们可以得到 r 个线性无关的解向量,这些解向量构成了齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系。
例如,对于如下齐次线性方程组:
```
x1 + 2x2 + x3 = 0
2x1 + 4x2 + 2x3 = 0
```
我们可以将其化为增广矩阵形式:
```
1 2 1 | 0
0 0 0 | 0
```
进行初等行变换,得到行阶梯形矩阵:
```
1 2 1 | 0
0 0 0 | 0
```
其中主元列为第 1、2 列,因此我们可以选择第 3 列作为自由变量,令 x3 = t(t 为任意实数),则有:
```
x1 = -2t
x2 = t
x3 = t
```
因此,我们可以得到以下两个解向量:
```
(-2, 1, 0)^T
(0, 0, 1)^T
```
这两个向量构成了齐次线性方程组的基础解系。
相关问题
齐次线性方程组基础解系
对于一个齐次线性方程组,如果它有非零解,那么我们可以通过线性组合来构造出无数个解。其中,基础解系是指通过线性组合得到的所有解中,线性无关的最小个数的解向量集合。
举个例子,对于二元齐次线性方程组:
a1x + b1y = 0
a2x + b2y = 0
如果它有非零解,那么我们可以写出其通解:
x = ky
y = -kx
其中 k 是任意常数。我们可以通过 k 的取值来得到无数个解。
但是,这些解并不是线性无关的。例如,当 k=1 和 k=-1 时,对应的解为 (y, -x) 和 (-y, x),它们之间是线性相关的。而当 k=0 时,对应的解为 (0, 0),它是零向量,不参与线性组合。
因此,在这个例子中,基础解系包含一个向量 (-y, x),因为它是唯一的一个线性无关的解向量。
齐次线性方程组的基础解系求法
齐次线性方程组的基础解系求法可以通过以下步骤实现:
1. 将齐次线性方程组表示为增广矩阵形式。
2. 对增广矩阵进行初等行变换,将其化为行阶梯形式。
3. 找出行阶梯矩阵中所有的主元位置,即每行第一个非零元素所在的列。
4. 对于每个主元位置,设其所在的列为第i列,取一个自由元素x_j,使得j不等于i,并将其它非零元素都化为0。
5. 对于每个自由元素x_j,将其设为t,其中t为任意实数,然后解出每个主元位置对应的变量。
6. 将每个变量的解表示为一个向量,这些向量组成的集合就是齐次线性方程组的基础解系。
需要注意的是,如果主元位置的个数少于变量的个数,则存在自由元素,此时基础解系中会有多个向量。