如何构造一个齐次线性方程组，使得其基础解系恰好可以是给定的向量组，举一个例子

构造一个齐次线性方程组，使得其基础解系恰好可以是给定的向量组，需要满足两个条件：首先，方程组的系数矩阵的行向量应该是给定的向量组的一个线性组合；其次，方程组的系数矩阵的列向量应该线性无关。

例如，假设给定的向量组为{(1,0,1),(0,1,-1)}，则可以构造如下的齐次线性方程组：

x - z = 0

y + z = 0

其中，其系数矩阵的行向量为(1,0,1)和(0,1,-1)，且系数矩阵的列向量线性无关，因此，该方程组的基础解系恰好可以是给定的向量组。

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如何构造一个齐次线性方程组，使得其基础解系恰好可以是给定的向量组

要构造一个齐次线性方程组，使得其基础解系恰好可以是给定的向量组，我们可以先将向量组排成一个矩阵，然后对这个矩阵进行初等行变换，直到它化为行最简矩阵。对于行最简矩阵，它的自由元个数就等于向量组中线性无关向量的个数，因此我们将这些自由元设为变量并将它们放在矩阵的最右侧，就得到了一个齐次线性方程组。这个方程组的系数矩阵就是行最简矩阵的左侧部分，而它的基础解系就是这些自由元的取值方式。

如何构造一个非齐次线性方程组，使得其基础解系恰好可以是给定的向量组，举一个例子。

构造一个非齐次线性方程组，使得其基础解系恰好可以是给定的向量组的方法是，将所给向量组构成的矩阵作为系数矩阵A，构造一个齐次线性方程组Ax=0，求出其基础解系，然后将所给向量组中的每一个向量作为非齐次项b，求解非齐次线性方程组Ax=b，这样得到的基础解系即为所给向量组。

举个例子，假设给定的向量组为{(1,2,3), (0,1,-1)}，则构造矩阵A为{{1,2,3}, {0,1,-1}}，求解Ax=0得到基础解系为{(1,-2,0)}，然后将向量(1,2,3)作为非齐次项b，求解Ax=b得到解为(1,0,1)，得到的基础解系为{(1,-2,0),(1,0,1)}，即为所求。