为什么齐次线性方程组的解集是一个向量空间

齐次线性方程组是指形如 $Ax = 0$ 的线性方程组，其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维向量，$0$ 是一个 $m$ 维零向量。

解决该方程组的过程就是求解矩阵 $A$ 的零空间，也就是所有满足 $Ax=0$ 的向量 $x$ 组成的集合。这个集合中，显然包含了零向量，也就是说它不是空集。同时，如果 $u$ 和 $v$ 是该集合中的两个向量，那么对于任意标量 $k$，有 $A(ku+ v) = kAu + Av = 0$，因此 $ku+v$ 也属于该集合。因此，该集合是封闭的，并且满足向量加法和标量乘法的运算法则，因此它是向量空间。

另外，需要注意的是，这个向量空间的维度是 $n$ 减去矩阵 $A$ 的秩，也就是说，它的维度可以用来描述方程组的特性，比如是否有非零解等。