反求线性方程组的问题:(通过举一个简单的例子)如何构造一个齐次线 性方程组,使得其基础解系恰好可以是给定的向量组;非齐次情形又该如何处理;
时间: 2023-06-20 14:04:09 浏览: 58
假设我们要构造一个齐次线性方程组,使得其基础解系恰好可以是给定的向量组 $\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \cdots, \boldsymbol{v_n}$。我们可以将这些向量按列排成一个矩阵 $A$,即 $A = [\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \cdots, \boldsymbol{v_n}]$。然后我们可以构造下面的齐次线性方程组:
$$
A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}
$$
其中,$\boldsymbol{x}$ 是未知向量。这个方程组的解集就是由向量组 $\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \cdots, \boldsymbol{v_n}$ 张成的线性空间,也就是它们的线性组合所构成的集合。因为这些向量是基础解系,所以这个解集中不会有其他的向量。
如果我们要构造一个非齐次线性方程组,使得它的解集恰好是给定向量组的线性组合,我们可以将这些向量按列排成一个矩阵 $A$,构造下面的非齐次线性方程组:
$$
A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}
$$
其中,$\boldsymbol{b}$ 是已知向量。这个方程组的解集就是由向量组 $\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \cdots, \boldsymbol{v_n}$ 张成的线性空间中与 $\boldsymbol{b}$ 相关的向量集合。我们可以通过求出齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的通解 $\boldsymbol{x_0}$,然后将其加上一个特解 $\boldsymbol{x_p}$,即可得到非齐次方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的通解:
$$
\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x_0} + \boldsymbol{x_p}
$$
其中,$\boldsymbol{x_0}$ 是齐次方程组的通解,$\boldsymbol{x_p}$ 是非齐次方程组的一个特解。如果我们能够找到一个特解 $\boldsymbol{x_p}$,那么我们就可以得到非齐次方程组的解集。