举一个线性方程组的例子，并用构造法解题

假设我们要解以下的线性方程组：

2x + 3y = 8
4x - 5y = -7

构造法是一种直观易行的解法，其基本思想是通过对方程组进行变形，得到一个方程中只含有一个未知数的形式，然后代入另一个方程中求解未知数。下面是具体的步骤：

1. 将第一行乘以 4，第二行乘以 2，得到等价的方程组：

8x + 12y = 32
8x - 10y = -14

2. 将第二个方程两边同时加上第一个方程，得到：

16y = 18

3. 解出 y：

y = 18/16 = 9/8

4. 将得到的 y 带入任意一个原方程中，求解 x：

2x + 3y = 8
2x + 3(9/8) = 8
2x = 8 - (27/8)
2x = 17/8
x = 17/16

因此，该线性方程组的解为：

x = 17/16, y = 9/8

相关问题

举一个常微分方程例子，并用matlab编程求解

一个常微分方程的例子是简单的二阶线性微分方程：

$$
y'' + 2y' + 5y = \cos(t)
$$

其中 $y$ 是关于 $t$ 的函数。我们可以通过将其转化为一个一阶向量形式的方程来求解：

$$
\begin{pmatrix}
y_1 \\ y_2
\end{pmatrix}' =
\begin{pmatrix}
y_2 \\ -2y_2 - 5y_1 + \cos(t)
\end{pmatrix}
$$

其中 $y_1 = y$，$y_2 = y'$。这个方程可以使用 MATLAB 的 `ode45` 函数求解，代码如下：

function dydt = myodefun(t, y)
    dydt = [y(2); -2*y(2) - 5*y(1) + cos(t)];
end

tspan = [0, 10];
y0 = [0; 0];
[t, y] = ode45(@myodefun, tspan, y0);

plot(t, y(:,1));
xlabel('t');
ylabel('y');
title('Solution of y'''' + 2y'' + 5y = cos(t)');

这个代码定义了一个函数 `myodefun`，这个函数返回一个向量，表示 $y_1$ 和 $y_2$ 的一阶导数。然后使用 `ode45` 函数求解这个方程，并绘制出 $y$ 随时间变化的图像。注意到 `ode45` 函数的第一个参数是一个函数句柄（即函数名前面加一个 `@` 符号），表示传入的函数是一个函数句柄。

c++写一个雅可比迭代法求解线性方程组

雅可比迭代法是一种迭代方法，用于解决线性方程组，其基本思想是将方程组中的每个未知数的求解过程分开，然后逐个求解。

算法描述：

1. 首先，将线性方程组表示为 Ax=b 的形式，其中 A 是系数矩阵，b 是常数向量，x 是未知向量。

2. 然后，将 A 分解为 D-L-U 的形式，其中 D 是 A 的对角线元素，L 是 A 的下三角元素，U 是 A 的上三角元素。

3. 初始化解向量 x0，设置迭代次数 k，容差 tol。

4. 进行 k 次迭代，每次更新解向量 xk，直到满足停止条件：

1. 计算误差向量 e=Axk-b；

2. 如果 ||e||<tol，则停止迭代；

3. 否则，计算更新向量 dk=(-D)^(-1)(L+U)xk+D^(-1)b，更新解向量 xk+1=xk+dk。

5. 返回解向量 xk+1。

代码实现：

import numpy as np

def jacobi(A, b, x0, k, tol):
    n = A.shape[0]
    D = np.diag(np.diag(A))
    L = -np.tril(A, -1)
    U = -np.triu(A, 1)
    for i in range(k):
        e = A.dot(x0) - b
        if np.linalg.norm(e) < tol:
            break
        d = np.linalg.inv(D).dot(L+U).dot(x0) + np.linalg.inv(D).dot(b)
        x0 = x0 + d
    return x0

其中，A、b、x0 分别是系数矩阵、常数向量和初始解向量，k 是迭代次数，tol 是容差。