外点罚函数法求解目标函数是线性的但约束条件是非线性的

如果目标函数是线性的但约束条件是非线性的，可以使用外点罚函数法求解。具体实现方式与目标函数和约束条件的形式有关，下面给出一个示例。

假设目标函数为线性规划问题：

$$\min_{x} c^T x$$

其中 $c$ 是常数向量，$x$ 是决策变量向量，满足一系列非线性约束条件：

$$g_i(x) \leq 0, i = 1,2,...,m$$

使用外点罚函数法求解该问题，可以将其转化为无约束优化问题：

$$\min_{x} c^T x + \frac{\mu}{2} \sum_{i=1}^{m} \max(g_i(x), 0)^2$$

其中 $\mu$ 是罚函数系数，可以随迭代次数逐步增大。由于目标函数是线性的，可以使用 MATLAB 自带的线性规划求解器 `linprog` 直接求解，约束条件可以通过罚函数来实现。具体代码如下：

function [x, fval] = penalty_linear(c, A, b, x0, options)
% 外点罚函数法求解线性规划问题
% 输入：
%   c: 目标函数系数向量
%   A, b: 约束条件 A*x <= b
%   x0: 初始点
%   options: 选项结构体，可以设置罚函数系数、收敛精度等参数
% 输出：
%   x: 最优解
%   fval: 目标函数在最优解处的值

% 设置默认选项
if nargin < 5
    options = [];
end
options = set_default_options(options);

% 初始化罚函数系数和迭代次数
mu = options.mu0;
iter = 0;

while true
    % 构造罚函数
    f = @(x) c' * x + mu * penalty_function(max(A * x - b, 0), options);

    % 使用线性规划求解器求解最小化罚函数的问题
    [x, fval] = linprog(c, [], [], A, b, [], [], x0, options.linprog_options);

    % 输出迭代信息
    if options.verbose
        fprintf('iter = %d, fval = %g, mu = %g\n', iter, fval, mu);
    end

    % 判断是否满足收敛精度要求
    if norm(max(A * x - b, 0), inf) < options.tol
        break;
    end

    % 更新罚函数系数和迭代次数
    mu = options.mu_factor * mu;
    iter = iter + 1;
end

end

function p = penalty_function(g, options)
% 计算罚函数
p = sum(g.^2) / (2 * options.mu0);

end

function options = set_default_options(options)
% 设置默认选项
if ~isfield(options, 'mu0')
    options.mu0 = 1;
end
if ~isfield(options, 'mu_factor')
    options.mu_factor = 10;
end
if ~isfield(options, 'tol')
    options.tol = 1e-6;
end
if ~isfield(options, 'verbose')
    options.verbose = false;
end
if ~isfield(options, 'linprog_options')
    options.linprog_options = optimoptions(@linprog, 'Display', 'off');
end

end

其中 `penalty_linear` 函数是主函数，输入目标函数系数向量、约束条件矩阵和向量、初始点和选项结构体，输出最优解和目标函数在最优解处的值。

`penalty_function` 函数计算罚函数，输入约束条件向量和选项结构体，输出罚函数值。

`set_default_options` 函数设置默认选项，如罚函数系数、收敛精度、是否显示迭代信息等。

以上程序仅供参考，具体实现方式可能因应用场景和需求而异。